
\documentclass[12pt]{article}
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\newtheorem{theorem}{Theorem}
\newtheorem{acknowledgement}[theorem]{Acknowledgement}
\newtheorem{algorithm}[theorem]{Algorithm}
\newtheorem{axiom}[theorem]{Axiom}
\newtheorem{case}[theorem]{Case}
\newtheorem{claim}[theorem]{Claim}
\newtheorem{conclusion}[theorem]{Conclusion}
\newtheorem{condition}[theorem]{Condition}
\newtheorem{conjecture}[theorem]{Conjecture}
\newtheorem{corollary}[theorem]{Corollary}
\newtheorem{criterion}[theorem]{Criterion}
\newtheorem{definition}[theorem]{Definition}
\newtheorem{example}[theorem]{Example}
\newtheorem{exercise}[theorem]{Exercise}
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
\newtheorem{notation}[theorem]{Notation}
\newtheorem{problem}[theorem]{Problem}
\newtheorem{proposition}[theorem]{Proposition}
\newtheorem{remark}[theorem]{Remark}
\newtheorem{solution}[theorem]{Solution}
\newtheorem{summary}[theorem]{Summary}
\newenvironment{proof}[1][Proof]{\noindent\textbf{#1.} }{\ \rule{0.5em}{0.5em}}
\input{tcilatex}
\begin{document}


{\LARGE Chapitre 1}%
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\vspace{0.5cm}%
%EndExpansion
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\vspace{0.5cm}%
%EndExpansion

{\LARGE Quelques\ r\'{e}sultats pr\'{e}liminaires}%
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\vspace{0.5cm}%
%EndExpansion
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\vspace{0.5cm}%
%EndExpansion

{\Large 1-1 Les espaces }${\Large L}^{p}\left( \Omega \right) $%
%TCIMACRO{\TeXButton{vs0.5}{\vspace{0.5cm}}}%
%BeginExpansion
\vspace{0.5cm}%
%EndExpansion

\textbf{D\'{e}finition 1-1-1}

Soit $p\in 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
$, avec $1\leq p<\infty $, on pose

\begin{equation*}
L^{p}\left( \Omega \right) =\left\{ f\colon \Omega \rightarrow 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
\text{ mesurable telle que }\left\vert f\right\vert ^{p}\in L^{1}\left(
\Omega \right) \right\} ,
\end{equation*}

la norme est not\'{e}e par\ 

\begin{equation*}
\left\Vert f\right\Vert _{L^{p}}=\left[ \dint\limits_{\Omega }\left\vert
f\left( x\right) \right\vert ^{p}dx\right] ^{\frac{1}{p}}.
\end{equation*}

* Si $p=\infty $, on pose $L^{\infty }\left( \Omega \right) =\left\{ f\colon
\Omega \rightarrow 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
\text{ mesurable, }\exists C>0\text{ telle que }\left\vert f\left( x\right)
\right\vert \leq C\text{ p.p. sur }\Omega \right\} ,$

$\left\Vert f\right\Vert _{L^{\infty }}=\inf \left\{ C\text{ }/\text{ }%
\left\vert f\left( x\right) \right\vert \leq C\text{ p.p. sur }\Omega
\right\} .$%
%TCIMACRO{\TeXButton{vs0.5}{\vspace{0.5cm}}}%
%BeginExpansion
\vspace{0.5cm}%
%EndExpansion
\ 

\textbf{Remarque:1-1-2}\ 

Si $f\in L^{\infty }$, on a\ 

\begin{equation*}
\left\vert f\left( x\right) \right\vert \leq \left\Vert f\right\Vert
_{L^{\infty }}\ p.p.sur\text{ }\Omega .
\end{equation*}%
{\large 
%TCIMACRO{\TeXButton{vs0.5}{\vspace{0.5cm}}}%
%BeginExpansion
\vspace{0.5cm}%
%EndExpansion
}

\textbf{Notation:1-1-3}

L'exposant conjugu\'{e} de $p$ est not\'{e} par $q$ tel que $\frac{1}{p}+%
\frac{1}{q}=1$\ avec $1\leq p<\infty $ .

{\large 1-1-1 Espace dual}%
%TCIMACRO{\TeXButton{vs0.5}{\vspace{0.5cm}}}%
%BeginExpansion
\vspace{0.5cm}%
%EndExpansion

On d\'{e}signe par $L^{p^{\prime }}\left( \Omega \right) $ l'espace dual de $%
L^{p}\left( \Omega \right) $, i.e

\begin{equation*}
\left( L^{p}\left( \Omega \right) \right) ^{\prime }=L^{p^{\prime }}\left(
\Omega \right)
\end{equation*}

tel que $p^{\prime }$ est l'exposant conjugu\'{e} de $p$.%
%TCIMACRO{\TeXButton{vs0.5}{\vspace{0.5cm}}}%
%BeginExpansion
\vspace{0.5cm}%
%EndExpansion

{\Large 1-2 l' espace }${\LARGE L}^{p}${\Large \ faible}%
%TCIMACRO{\TeXButton{vs0.5}{\vspace{0.5cm}}}%
%BeginExpansion
\vspace{0.5cm}%
%EndExpansion

Soit $f$ $%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n}\rightarrow 
%TCIMACRO{\U{2102} }%
%BeginExpansion
\mathbb{C}
%EndExpansion
$ \ une fonction mesurable, on d\'{e}finit l'application :

\begin{eqnarray*}
\lambda _{f} &:&\left[ 0,\infty \right[ \rightarrow \left[ 0,\infty \right[
\ \text{\ par} \\
t &\rightarrow &\lambda _{f}\left( t\right) =mes\left\{ x\in 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n}/\text{ }\left\vert f\left( x\right) \right\vert >t\right\}
\end{eqnarray*}

\textbf{Th\'{e}or\`{e}me 1-2-1}

$\iota )$ la fonction \ $\lambda _{f}$ est d\'{e}croissante et continue sur $%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{+}$

$\iota \iota )$ $\left\Vert f\right\Vert _{p}^{p}=p\int_{0}^{+\infty
}t^{p-1}\lambda _{f}\left( t\right) dt$ \ $\left( 1\leq p<\infty ,\forall
f\in L^{p}\ \right) $

$3\iota )$ $\lambda _{f}\left( t\right) \leq \ t^{-p}\left\Vert f\right\Vert
_{p}^{p}$ ,\ $\left( \forall f\in L^{p}\right) $

$4\iota )\ f\in L^{\infty }\Longleftrightarrow \lambda _{f}\left( t\right)
=0 $ pour $t$ assez grand.%
%TCIMACRO{\TeXButton{vs0.5}{\vspace{0.5cm}}}%
%BeginExpansion
\vspace{0.5cm}%
%EndExpansion

\textbf{Preuve}

$\left( \iota \right) $ et $\left( 4\iota \right) $ sont \'{e}videntes (dans 
$4\iota $,poser $t>$\ $\left\Vert f\right\Vert _{\infty }$\ )

$3\iota )$\ int\'{e}grons l'in\'{e}galit\'{e} $t^{p}\leq $ $\left\vert
f(x)\right\vert ^{p}$sur l'ensemble $\Omega =$\ $\left\{ x\in 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n}\diagup \left\vert f\left( x\right) \right\vert >t\right\} $

on a

\begin{eqnarray*}
t^{p}\lambda _{f}\left( t\right) \ &\leq &\ \int_{\Omega }\left\vert
f(x)\right\vert ^{p}dx\leq \ \left\Vert f\right\Vert _{p}^{p} \\
\ \iota \iota )\int_{0}^{+\infty }t^{p-1}\lambda _{f}\left( t\right) dt
&=&\int_{%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n}}\left\{ \int_{0}^{\left\vert f(x)\right\vert }t^{p-1}dt\right\} \ dx=%
\frac{1}{p}\left\Vert f\right\Vert _{p}^{p}
\end{eqnarray*}

%TCIMACRO{\TeXButton{vs0.5}{\vspace{0.5cm}}}%
%BeginExpansion
\vspace{0.5cm}%
%EndExpansion

\textbf{D\'{e}finition 1-2-2}

l'espace $L^{P}$-faible, not\'{e} $L_{W}^{P}$ , est d\'{e}finit par

\begin{equation*}
L_{W}^{P}=\left\{ f\text{ mesurable sur }%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n}\setminus \exists c>0\text{ }\colon \lambda _{f}\left( t\right) \ \leq
ct^{-p},\forall t>0\right\}
\end{equation*}

\textbf{Remarque 1-2-3}

L'application $f\in L_{W}^{P}\rightarrow $\ $\left\Vert f\right\Vert
_{L_{W}^{P}}=\underset{t\geq 0}{max}$ $t$\ $(\lambda _{f}\left( t\right) )^{%
\frac{1}{p}},$d\'{e}finie "presque" une

norme.En effet,

$\ast \ \lambda _{f}\left( t\right) =0\ \ \left( \forall t>0\right) $\ \
entra\^{\i}ne \ $f\equiv 0$ \ $\left( \text{\'{e}vident}\right) $\ 

$\ast \ \lambda _{\alpha f}\left( t\right) =$\ $\lambda _{f}$\ $\left( \frac{%
t}{\shortmid \alpha \shortmid }\right) ,\left( \alpha \in 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{\ast }\right) ,$donc

en passant \`{a}\ la borne sup\'{e}rieur dans $\left( 1\right) ,$on obtient

$t\left( \lambda _{\alpha f}\left( t\right) \right) ^{\frac{1}{p}%
}=\left\vert \alpha \right\vert \left\{ t^{\prime }\text{ }(\lambda
_{f}\left( t^{\prime }\right) )^{\frac{1}{p}}\right\} ,($\ $t^{\prime }=%
\frac{t}{\left\vert \alpha \right\vert })$

\begin{equation*}
\left\Vert \alpha f\right\Vert _{L_{W}^{P}}=\left\vert \alpha \right\vert
\left\Vert f\right\Vert _{L_{W}^{P}}
\end{equation*}

l'in\'{e}galit\'{e} suivante

$\left( \left\vert f\left( x\right) \right\vert \leq \frac{1}{2}t\text{ };%
\text{ }\left\vert g\left( x\right) \right\vert \leq \frac{1}{2}t\right) $\
\ entra\^{\i}ne $\left\vert f\left( x\right) +g\left( x\right) \right\vert $%
\ $\leq t$

implique que$\ \lambda _{f+g}\left( t\right) \leq \lambda _{f}$ $\left( 
\frac{t}{2}\right) +\lambda _{g}\left( \frac{t}{2}\right) $\ $,$d'o\`{u}\ 

$\left\Vert f+g\right\Vert _{L_{W}^{P}}\leq 2\left( \left\Vert f\right\Vert
_{L_{W}^{P}}+\left\Vert g\right\Vert _{L_{W}^{P}}\right) $%
%TCIMACRO{\TeXButton{vs0.5}{\vspace{0.5cm}}}%
%BeginExpansion
\vspace{0.5cm}%
%EndExpansion

\textbf{Remarque 1-2-4}

$\iota )$ $\left( L_{W}^{P}\text{ },\left\Vert .\right\Vert
_{_{L_{W}^{P}}}\right) $ est complet$.$

$\iota \iota )$ $L^{P}$ $\subset L_{W}^{P}$ $,\left( 1\leq p\leq \infty
\right) $%
%TCIMACRO{\TeXButton{vs0.5}{\vspace{0.5cm}}}%
%BeginExpansion
\vspace{0.5cm}%
%EndExpansion
.

\textbf{Preuve}

$\iota )$\ \'{e}vident

$\iota \iota )$ si $f\in L^{p},$on a

$\lambda _{f}\left( t\right) =$\ $\int_{\left\vert f\left( x\right)
\right\vert >t}d\mu \leq t^{-p}$\ $\int_{\left\vert f\left( x\right)
\right\vert \text{ }>t}\left\vert f(x)\right\vert ^{p}d\mu $\ $\leq t^{-p}$\ 
$\int_{%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n}}\left\vert f(x)\right\vert ^{p}d\mu =t^{-p}$\ $\int_{%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n}}\left\vert f(x)\right\vert ^{p}d\mu =t^{-p}\left\Vert f\right\Vert
_{p}^{p}$

Donc $f\in L_{W}^{P}$ .%
%TCIMACRO{\TeXButton{vs0.5}{\vspace{0.5cm}}}%
%BeginExpansion
\vspace{0.5cm}%
%EndExpansion

{\Large 1-3 In\'{e}galit\'{e} de H\"{o}lder , Young et Cauchy-Shwartz}%
%TCIMACRO{\TeXButton{vs0.5}{\vspace{0.5cm}}}%
%BeginExpansion
\vspace{0.5cm}%
%EndExpansion

{\large 1-3-1In\'{e}galit\'{e} de H\"{o}lder}%
%TCIMACRO{\TeXButton{vs0.5}{\vspace{0.5cm}}}%
%BeginExpansion
\vspace{0.5cm}%
%EndExpansion

\textbf{Th\'{e}or\`{e}me1-3-1}

Soit $f\in L^{p}\left( \Omega \right) $ et $g\in L^{p^{\prime }}\left(
\Omega \right) $ avec $1\leq p\leq \infty $ alors:

\begin{equation*}
f.g\in L^{1}\left( \Omega \right) \text{ et }\dint \left\vert f.g\right\vert
dx\leq \left\Vert f\right\Vert _{L^{p}}.\left\Vert g\right\Vert
_{L^{p^{\prime }}}.
\end{equation*}

\textbf{Th\'{e}or\`{e}me\ 1-3-2} $\left( \text{In\'{e}galit\'{e} de Young}%
\right) $.

Soient $p$ $,q$ et $r$ $\in \left[ 1,\infty \right] $ tel que \ $1+\frac{1}{r%
}=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}$ .Alors pour tout $f\in L^{P}\left( 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n}\right) $ et $g\in L^{q}\left( 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n}\right) ,$on a

\begin{equation*}
f\star g\in L^{r}\left( 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n}\right) et\left\Vert f\star g\right\Vert _{r}\leq \left\Vert
f\right\Vert _{p}\left\Vert g\right\Vert _{q}\cdot
\end{equation*}%
%TCIMACRO{\TeXButton{vs0.5}{\vspace{0.5cm}}}%
%BeginExpansion
\vspace{0.5cm}%
%EndExpansion

\textbf{Preuve}

On fixe $g\in L^{q}\left( 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n}\right) $ et on consid\`{e}re l'op\'{e}rateur $Tf=f\star g$ ,on a

\begin{eqnarray*}
Tf\left( x\right) &=&\int f\left( y\right) ^{\frac{1}{q}}g\left( x-y\right)
f\left( y\right) ^{\frac{1}{q\prime }}dy \\
\left\vert Tf\right\vert &\leq &\int \left\vert f(y)\right\vert ^{\frac{1}{q}%
}\left\vert g\left( x-y\right) \right\vert \left\vert f(y)\right\vert ^{%
\frac{1}{q\prime }}dy,
\end{eqnarray*}

On utilisant l'in\'{e}galit\'{e} de H\"{o}lder, on obtient d'une part

\begin{equation*}
\left\Vert Tf\left( x\right) \right\Vert _{q}\leq \left\Vert f\right\Vert
_{1}\left\Vert g\right\Vert _{q}
\end{equation*}

D'autre part l'in\'{e}galit\'{e} de H\"{o}lder donne

\begin{equation*}
\left\vert Tf\left( x\right) \right\vert \leq \left\Vert g\right\Vert
_{q}\left\Vert f\right\Vert _{q\prime }
\end{equation*}

Alors on applique le th\'{e}or\`{e}me de l'interpolation, i.e $\colon $

\begin{eqnarray*}
T\colon L^{1}\left( 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n}\right) &\rightarrow &L^{q}\left( 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n}\right) \\
L^{q}\left( 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n}\right) &\rightarrow &L^{\infty }\left( 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n}\right)
\end{eqnarray*}

il vient

\begin{equation*}
T\colon L^{p}\left( 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n}\right) \rightarrow L^{r}\left( 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n}\right) ,avec\ 1+\frac{1}{r}=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}
\end{equation*}

{\large 
%TCIMACRO{\TeXButton{vs0.5}{\vspace{0.5cm}}}%
%BeginExpansion
\vspace{0.5cm}%
%EndExpansion
}

{\large 1-3-2 In\'{e}galit\'{e} de Cauchy-Shwartz}

soit E un espace vectoriel muni d'un produit scalaire, on peut introduire

une norme d\'{e}finie par

\begin{equation*}
\left\Vert x\right\Vert =\sqrt{<x,x>}
\end{equation*}

alors:

\begin{equation*}
\forall x,y\in E\ \ \left\vert <x,y>\right\vert \leq \left\Vert x\right\Vert
\left\Vert y\right\Vert
\end{equation*}

{\Large 1-4\ L'interpolation}%
%TCIMACRO{\TeXButton{vs0.5}{\vspace{0.5cm}}}%
%BeginExpansion
\vspace{0.5cm}%
%EndExpansion

{\Large 1-4-1 L'interpolation dans }$L^{_{P}}\left( 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n}\right) ${\large 
%TCIMACRO{\TeXButton{vs0.5}{\vspace{0.5cm}}}%
%BeginExpansion
\vspace{0.5cm}%
%EndExpansion
}

\textbf{Th\'{e}or\`{e}me 1-4-1}

Soit $T$ un op\'{e}rateur lin\'{e}aire (i.e.une application lin\'{e}aire) de 
$L^{P_{0\text{ }}}$

dans $L^{q_{0\text{ }}}$et de $L^{P_{1}}$dans\emph{\ }$L^{q_{1}}$, $\left(
p_{_{0}},q_{_{0}},p_{_{1}},q_{_{1}}\in \left[ 1,\infty \right] ,\text{ }%
p_{_{0}}\neq p_{_{1}}\text{ }et\text{ }q_{0}\neq q_{1}\text{ }\right) $,

telles que

\begin{equation*}
\left\Vert Tf\right\Vert _{q_{_{0}}}\leq C_{_{0}}\left\Vert f\right\Vert
_{p_{_{0}}}et\left\Vert Tf\right\Vert _{q_{_{1}}}\leq \ C_{_{1}}\left\Vert
f\right\Vert _{p_{_{1}}}\cdot
\end{equation*}

Alors $T$ applique de$\ L^{P}$dans $L^{q}$ avec

\begin{equation*}
\left\Vert Tf\right\Vert _{q}\leq C_{_{0}}^{\theta }C_{_{1}}^{1-\theta
}\left\Vert f\right\Vert _{_{P}}
\end{equation*}

o\`{u}$\ \ \theta \in \left] 0,1\right[ $ et $\frac{1}{p}=\frac{\theta }{%
p_{_{0}}}+\frac{1-\theta }{p_{_{1}}}$ ,$\frac{1}{q}=\frac{\theta }{q_{_{0}}}+%
\frac{1-\theta }{q_{_{1}}}$%
%TCIMACRO{\TeXButton{vs0.5}{\vspace{0.5cm}}}%
%BeginExpansion
\vspace{0.5cm}%
%EndExpansion

{\large 1-4-2 L'interpolation dans }$L^{p}-${\large faible}%
%TCIMACRO{\TeXButton{vs0.5}{\vspace{0.5cm}}}%
%BeginExpansion
\vspace{0.5cm}%
%EndExpansion

\textbf{Th\'{e}or\`{e}me1-4-2}

Soit $\ \ T$ $\colon $ $L^{p_{0}}$ $\rightarrow $ $L^{q_{0}}$\ et\ \ \ $%
L^{p_{1}}$ $\rightarrow $ $L_{w}^{q_{1}}$\ ,avec\ 

$\left\Vert Tf\right\Vert _{L_{W}^{q_{0}}}\leq C_{0}$\ $\left\Vert
f\right\Vert _{P_{0}}$et \ \ \ $\left\Vert Tf\right\Vert
_{L_{W}^{q_{1}}}\leq C_{0}$\ $\left\Vert f\right\Vert _{P_{1}}$

Alors $\colon \ T$ $\colon $ $L^{p_{\ \ }}$ $\rightarrow $ $L^{q_{\ \ \ \ \
\ \ \ }}$\ avec\ \ $\left\Vert Tf\right\Vert _{q}\leq C_{2}C_{0}^{1-\theta
}C_{1}^{\theta }\left\Vert f\right\Vert _{p_{1}}$ \ o\`{u}

$p\leq q$ ,$\ \ \ \frac{1}{p}=\frac{\theta }{p_{1}}+\frac{1-\theta }{p_{0}}$
,$\frac{1}{q}=\frac{\theta }{q_{1}}+\frac{1-\theta }{q_{0}}$ et $\theta \in %
\left] 0,1\right[ $%
%TCIMACRO{\TeXButton{vs0.5}{\vspace{0.5cm}}}%
%BeginExpansion
\vspace{0.5cm}%
%EndExpansion

{\Large 1-5 S\'{e}rie de littlwood -paley\ }%
%TCIMACRO{\TeXButton{vs0.5}{\vspace{0.5cm}}}%
%BeginExpansion
\vspace{0.5cm}%
%EndExpansion

soit $\Psi \in S\left( 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n}\right) $ telle que

$\left( a\right) $Soit supp$\Psi \subset \left\{ \xi \in 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n}\diagup \frac{1}{2}\leq \left\vert \xi \right\vert \leq 2\right\} $

$\left( b\right) $Soit $\Psi \left( \xi \right) >0$ $\ $pour $\ \frac{1}{2}%
\leq \left\vert \xi \right\vert \leq 2$

$\left( C\right) \underset{k\geq 0}{\sum }\Psi \left( 2^{-k}\xi \right) =1$
pour $\xi \in 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n}\backslash \left\{ 0\right\} $

on pose%
\begin{equation*}
\Phi \left( \xi \right) =1-\underset{k\geq 1}{\sum }\Psi \left( 2^{-k}\xi
\right) ,
\end{equation*}%
\ \ on obtient alors une fonction $\Phi \in D\left( 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n}\right) $

port\'{e}e par $\left\vert \xi \right\vert \leq 2$,qui vaut $1$ au voisinage
de $0$.

Dans tout ce qui suit, on fixe la partition de l'unit\'{e} qui r\'{e}sulte,

\begin{equation*}
\Phi \left( \xi \right) +\underset{k\geq 1}{\sum }\Psi \left( 2^{-k}\xi
\right) =1,\forall \xi \in 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
1\right) .
\end{equation*}

A cette partition, on associe une suite d'op\'{e}rateurs de convolutions

$\triangle _{k\text{ }}\colon S^{\prime }:\left( 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n}\right) \rightarrow C^{\infty }\left( 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n}\right) $ \ d\'{e}finits par $(\triangle _{k\text{ }}f)^{\symbol{94}%
}(\xi )=\Psi \left( 2^{-k}\xi \right) \widehat{f}$ pour $k\geq 1$ et

$(\triangle _{0\text{ }}f)^{\symbol{94}}(\xi )=\Phi ^{\symbol{94}}\left( \xi
\right) \widehat{f}(\xi )$ on d\'{e}finit de m\^{e}me les op\'{e}rateurs $%
S_{j}\left( j\geq 1\right) $ par

$S_{j}(f\hat{)}\left( \xi \right) =\Phi \left( 2^{-j}\xi \right) \widehat{f}%
\left( \xi \right) $

pour tout $f\in S\left( 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n}\right) $,on peut multiplier l'\'{e}galit\'{e} $\left( 1\right) $ par $%
\widehat{f}$,

puis appliquer la tronsformation de Fourier inverse ; on obtient une

d\'{e}composition de Littlwood-paley

\begin{equation*}
f=\underset{k\geq 0}{\sum }\triangle _{k\text{ }}f\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \left( 2\right)
\end{equation*}

%TCIMACRO{\TeXButton{vs0.5}{\vspace{0.5cm}}}%
%BeginExpansion
\vspace{0.5cm}%
%EndExpansion
\ 

{\large L\`{e}mme de vitali 1-5-1}

soit E un sous-ensenble m\'{e}surable dans $%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n}$,r\'{e}couvrement par l'union

des boules $B_{j}$

c-\`{a}-d 
\begin{equation*}
E\subset \underset{j}{\text{ }\cup }B_{j}
\end{equation*}

alors on peut trouver un sous suites disjointes \ $%
B_{1},B_{2},......B_{k}...\left( \text{finie ou infinie}\right) $

et v\'{e}rifi\'{e}e que

\ 
\begin{equation*}
\underset{k\geq 0}{\sum }mes\left( B_{k}\right) \geq C\text{ }mes\left(
E\right)
\end{equation*}%
$.$

telle que $C$ est un constant positif d\'{e}pend \`{a} $n$

\textbf{Observation1-5-2}

soient $g$ une fonction d\'{e}finie sur $%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n}$ et l'ensemble $\left\{ x:\left\vert g(x)\right\vert >\alpha \right\} ,$

$\lambda \left( \alpha \right) $ la mesure de cet ensemble.

Si $g\in L^{p}$ alors $\int_{%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n}}\left\vert g(x)\right\vert ^{p}dy=-\int_{0}^{+\infty }\alpha
^{p}d\lambda \left( \alpha \right) $

\newpage

{\LARGE Chapitre 2}{\large 
%TCIMACRO{\TeXButton{vs0.5}{\vspace{0.5cm}}}%
%BeginExpansion
\vspace{0.5cm}%
%EndExpansion
%TCIMACRO{\TeXButton{vs0.5}{\vspace{0.5cm}}}%
%BeginExpansion
\vspace{0.5cm}%
%EndExpansion
}

\textbf{CONTINUIT\`{E} DE LA FONCTION MAXIMALE}

{\Large 1- La fonction maximale}

\textbf{D\'{e}ffinition 2.1}

soit $f\in L_{loc}^{1}$ $\left( 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n}\right) $et $B\left( x,r\right) $ une boule de centre $x$ et de rayon $r$

et $mesB\left( x,r\right) $ la mesure de cette\ boule , $\forall x\in $ $%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n}$ on note par

\begin{equation*}
M\left( f\right) \left( x\right) =\sup \frac{1}{m(B\left( x,r\right) )}%
\int_{B\left( x,r\right) }\left\vert f(y)\right\vert dy
\end{equation*}

\textbf{Th\'{e}or\`{e}me2-1-2}

soit $f$ une fonction d\'{e}finit sur $%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n\text{ }}$

$\iota )$ si $f\in L^{p}\left( 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n\text{ }}\right) $ \ \ et $\ 1\leq p\leq \infty ,$alors $Mf$ est fini

$\iota \iota )$ si$\ f\in L^{1}\left( 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n\text{ }}\right) \ ,$alors$\ \ \forall \ \alpha >0\ \ \exists A\left(
n\right) >0\ $telle que$\ mes\{x:(Mf)(x)>\alpha \}<\frac{A}{\alpha }\int_{%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n}}\left\vert f\right\vert dx$

$\iota \iota \iota )$ si $f\in L^{p}\left( 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n\text{ }}\right) $ \ \ et $\ 1\leq p\leq \infty ,$ alors $\exists A\left(
n,p\right) \ /\ \ Mf\in L^{p}\left( 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n\text{ }}\right) $\ et 
\begin{equation*}
\left\Vert Mf\right\Vert _{p}\leq A_{p}\left\Vert f\right\Vert _{p}
\end{equation*}%
{\large 
%TCIMACRO{\TeXButton{vs0.5}{\vspace{0.5cm}}}%
%BeginExpansion
\vspace{0.5cm}%
%EndExpansion
}

\textbf{preuve}

soit l'ensenble $E_{\alpha }=\{x:(Mf)(x)>\alpha \}$et par la D\'{e}finition
d'une fonction

maximale on a

$\forall x\in E_{\alpha }$ \ $\exists B_{x}\left( \text{boule de centre }%
x\right) $ telle que

\begin{equation*}
\int_{B_{x}}\left\vert f\left( y\right) \right\vert dy>\alpha mes\left(
B_{x}\right) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \left( 1\right)
\end{equation*}

c-\`{a}-d $\ \ \ \ \ \ $

\begin{equation*}
\ mes\left( B_{x}\right) <\ \frac{1}{\alpha }\left\Vert f\right\Vert _{1}
\end{equation*}

D'autre part$\ $si \ $x\in E_{\alpha }$ \ et par le l\`{e}mme de vitali on
peut prend des boules $B_{k}\left( \text{disjointes}\right) $ telles que

\begin{equation*}
\underset{k\geq 0}{\sum }mes\left( B_{k}\right) \geq Cmes\left( E_{\alpha
}\right) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\left( 2\right)
\end{equation*}

on applique $\left( 1\right) $ et\ $\left( 2\right) $ on obtient

\begin{equation*}
\int_{\cup B_{x}}\left\vert f\left( y\right) \right\vert dy\geq \alpha 
\underset{k}{\sum }mes\left( B_{k}\right) \geq \alpha Cmes\left( E_{\alpha
}\right) \cdot
\end{equation*}

On pose $A=\frac{1}{C}$ D'ou l'in\'{e}galite$\ \iota \iota ).$

suppose $1\leq p\leq \infty $

soit 
\begin{equation*}
f_{1}\left( x\right) =\QATOPD\{ . {f\left( x\right) ,\text{ \ \ \ \ \ \ }%
\left\vert f\left( x\right) \right\vert \geq \frac{\alpha }{2}}{0,\text{ \ \
\ \ \ \ \ }\ \ \ \ \ -\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}
\end{equation*}

donc%
\begin{equation*}
\left\vert f\left( x\right) \right\vert \leq \left\vert f_{1}\left( x\right)
\right\vert +\frac{\alpha }{2}
\end{equation*}

et%
\begin{equation*}
\left\vert (Mf)(x)\right\vert \leq \left\vert (Mf_{1})(x)\right\vert +\frac{%
\alpha }{2}
\end{equation*}

on a l'ensemble $\ $%
\begin{equation*}
\{x:(Mf)(x)>\alpha \}\subset \{x:(Mf_{1})(x)>\frac{\alpha }{2}\}
\end{equation*}
i.e $\ $%
\begin{equation*}
m\left( E_{\alpha }\right) =\{x:(Mf)(x)>\frac{\alpha }{2}\}\leq 2\frac{A}{%
\alpha }\left\Vert f_{1}\right\Vert _{1}
\end{equation*}

ou peut \'{e}crire 
\begin{equation*}
m\left( E_{\alpha }\right) =\{x:(Mf)(x)>\alpha \}\leq 2\frac{A}{\alpha }%
\int_{\left\vert f\left( x\right) >\frac{\alpha }{2}\right\vert }\left\vert
f\left( x\right) \right\vert dx\ \ \ \ \ \ \ \left( 3\right)
\end{equation*}

on suppose que $g=M\left( f\right) $ et $\lambda $ la distribution de g et
on 'utilise l'observation pr\'{e}c\'{e}dente on obtient

\begin{eqnarray*}
\int_{%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n\text{ }}}\left\vert Mf\right\vert ^{p}dx &=&-\int_{0}^{\infty }\alpha
^{p}d\lambda \left( \alpha \right) \  \\
&=&p\int_{0}^{\infty }\alpha ^{p-1}\lambda \left( \alpha \right) d\alpha
\end{eqnarray*}

par l'in\'{e}galit\'{e} $\left( 3\right) $,on a

\begin{eqnarray*}
\int_{%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n\text{ }}}\left\vert Mf\right\vert ^{p}d\varkappa &=&p\int_{0}^{\infty
}\alpha ^{p-1}mes\left( E_{\alpha }\right) d\alpha \\
&\leq &p\int_{0}^{\infty }\alpha ^{p-1}\left( 2\frac{A}{\alpha }%
\int_{\left\vert f\left( x\right) \text{ }\succ \frac{\alpha }{2}\right\vert
}\left\vert f\left( x\right) \right\vert dx\right) d\alpha
\end{eqnarray*}

si \ $p>1$ alors

\begin{eqnarray*}
\int_{%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n\text{ }}}\left\vert Mf\right\vert ^{p}dx &\leq &\frac{2AP}{P-1}\int_{%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n\text{ }}}\left\vert f\left( x\right) \right\vert ^{P}dx \\
&=&(A_{P})^{p}\int_{%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n\text{ }}}\left\vert f\left( x\right) \right\vert ^{P}dx
\end{eqnarray*}

D'ou \ l'in\'{e}galite \ $\iota \iota \iota )${\large 
%TCIMACRO{\TeXButton{vs0.5}{\vspace{0.5cm}}}%
%BeginExpansion
\vspace{0.5cm}%
%EndExpansion
}

{\Large 2-2 Defferntiation de Lebesgue}\textbf{\ }{\large 
%TCIMACRO{\TeXButton{vs0.5}{\vspace{0.5cm}}}%
%BeginExpansion
\vspace{0.5cm}%
%EndExpansion
}

\textbf{Th\'{e}or\`{e}me 2-2-1}

soit $f\in L^{1}\left( 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n\text{ }}\right) $ alors

\begin{equation*}
\underset{r\rightarrow 0}{\lim }\left( \frac{1}{mesB\left( x,r\right) }%
\right) \int_{B\left( x,r\right) }\left\vert f\left( y\right) -f\left(
x\right) \right\vert dy=0\ \forall x\in 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n\text{ }}
\end{equation*}

et $f\left( x\right) =\underset{r\rightarrow 0}{\lim }\left( \frac{1}{%
mesB\left( x,r\right) }\right) \int_{B\left( x,r\right) }f\left( y\right) dy$
\ \ \ \ $p.p$ $\ \forall x\in 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n\text{ }}$

\textbf{Preuve:}

On pose

\begin{equation*}
\triangle \left( f,x\right) =\underset{r\rightarrow 0}{\lim }\left( \frac{1}{%
mesB\left( x,r\right) }\right) \int_{B\left( x,r\right) }\left\vert f\left(
y\right) -f\left( x\right) \right\vert dx
\end{equation*}

si $f\in C^{0}\left( 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n\text{ }}\right) $ alors

\begin{equation*}
\triangle \left( f,x\right) =0
\end{equation*}

on , \'{e}crivons $f=g+h$ \ o\`{u} $g\in C^{0}\left( 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n\text{ }}\right) $et $\left\Vert h\right\Vert _{1}\leq \varepsilon ,$

i.e

\begin{equation*}
\triangle \left( f,x\right) =\triangle \left( h,x\right) ,
\end{equation*}

par l'in\'{e}galit\'{e} de triangle on a \ \ \ \ $\triangle \left(
h,x\right) \leq Mh\left( x\right) +\left\vert h\left( x\right) \right\vert $

o\`{u}

\begin{equation*}
Mh\left( x\right) =\underset{r>0}{\sup }\ \left( \frac{1}{mesB\left(
x,r\right) }\right) \int_{B\left( \varkappa ,r\right) \ }\left\vert h\left(
y\right) \right\vert dy
\end{equation*}%
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $ \ 

ce qui donne \ 

\begin{equation*}
m\{x\in 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n\text{ }}\diagup \triangle \left( h,x\right) >t\}\ \leq m\{x\in 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n\text{ }}\diagup Mh\left( x\right) >\frac{t}{2}\}\ +m\{x\in 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n\text{ }}\diagup \left\vert h\left( x\right) \right\vert >\frac{t}{2}\}
\end{equation*}

nous avons d'apr\`{e}s le th\'{e}or\`{e}me d'interpolation $\left(
1.11\right) $\ 

\begin{equation*}
m\{x\in 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n\text{ }}\diagup \left\vert h\left( x\right) \right\vert >\frac{t}{2}%
\}\leq \frac{C}{t}\left\Vert h\right\Vert _{1}
\end{equation*}

\begin{equation*}
\leq Ct^{-1}\varepsilon
\end{equation*}%
\ 

d'autre part nous d\'{e}monterons dans le th\'{e}or\`{e}me $\left(
2.2\right) $

\begin{equation*}
m\{x\in 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n\text{ }}\diagup Mh\left( x\right) >\frac{t}{2}\}\leq \frac{C}{t}%
\left\Vert h\right\Vert _{1}
\end{equation*}

\begin{equation*}
\leq Ct^{-1}\varepsilon
\end{equation*}%
\ \ 

par cons\'{e}quent on a

\begin{equation*}
m\{x\in 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n\text{ }}\diagup \triangle \left( f,x\right) >t\}\ \leq \ \
Ct^{-1}\varepsilon ,\forall t>0,\forall \varepsilon >0
\end{equation*}

cette mesure est donc nulle, do\`{u}

\begin{equation*}
\triangle \left( f,x\right) =0\ \ \ \ \ \ p.p\ \forall x\in 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n\text{ }}
\end{equation*}

\textbf{- }Soit $f_{r}\left( x\right) =\left( \frac{1}{mesB\left( x,r\right) 
}\right) \int_{B\left( x,r\right) }f\left( y\right) dy$ $,$\ \ \ \ \ $r>0$

on montre que $\underset{r\rightarrow 0}{\lim }f_{r}\left( x\right) $ \'{e}%
xiste toujours

- not\'{e} $\forall g\in L^{1}\left( 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n\text{ }}\right) $

\begin{equation*}
\Omega g\left( x\right) \ \ =\left\vert \underset{r\rightarrow 0}{\lim }\sup
g_{r}\left( x\right) -\underset{r\rightarrow 0}{\lim }\inf g_{r}\left(
x\right) \right\vert \text{ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)}
\end{equation*}%
\ 

si $g$ est continue a support compact alors\ \ $g_{r}\rightarrow g$ \
uniformement et \ $\Omega g\equiv 0$ \ dans ce cas,si $g\in $\ $L^{1}\left( 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n\text{ }}\right) ,$et d'apr\`{e}s$\ (\iota \iota )$ Th $\left( 2.2\right) 
$, on a\ \ \ \ \ \ \ \ 

\begin{equation*}
m\{x\in 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n\text{ }}\diagup 2M(g)>\varepsilon \}\ \leq 2\frac{A}{\varepsilon }%
\left\Vert g\right\Vert _{1}
\end{equation*}%
$\ $

donc

\begin{equation*}
\Omega g\left( x\right) \leq 2Mg\left( x\right)
\end{equation*}

i.e

\begin{equation*}
m\{x\in 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n\text{ }}\diagup \ \Omega g\left( x\right) >\varepsilon \}2\frac{A}{%
\varepsilon }\left\Vert g\right\Vert _{1},g\in \ L^{1}\left( 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n\text{ }}\right) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
2\right)
\end{equation*}%
$\ $

finalement $\ \forall f\in \ L^{1}\left( 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n\text{ }}\right) $

On pose\ \ $f=g+h$ \ \ \ \ \ \ telle que $h$\ continue \`{a} support compact

on a

\begin{equation*}
\Omega f\leq \ \Omega h+\ \Omega g\ \ et\ \ \Omega h\equiv 0
\end{equation*}%
$\ $

et par l'in\'{e}galit\'{e} $\left( 2\right) $\ on a

\begin{equation*}
m\{x\in 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n\text{ }}\diagup \ \Omega f\left( x\right) >\varepsilon \}\ \ \leq 2\frac{%
A}{\varepsilon }\left\Vert g\right\Vert _{1}
\end{equation*}%
\ 

si $g$ est plus petit alors \ $\Omega f=0$\ \ 

donc \ $\ \underset{r\rightarrow 0}{\lim }f_{r}\left( x\right) $\ \'{e}xiste.

\textbf{D\'{e}finition 2-2-2}

Soit $K\in L_{loc}^{1}\left( 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n\text{ }}\backslash \left\{ 0\right\} \right) $\ , $K$ d\'{e}fini une
distribution au sens

\begin{equation*}
\left\langle K\ ,\varphi \right\rangle =\int_{%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n\text{ }}}K\left( x\right) \varphi \left( x\right) dx
\end{equation*}%
$\ $\ 
\begin{equation*}
=\underset{\varepsilon \rightarrow 0}{\lim }\int_{\left\vert x\right\vert
<\varepsilon }K\left( x\right) \left( \varphi \left( x\right) -\varphi
\left( 0\right) \right) dx+\underset{\varepsilon \rightarrow 0}{\lim }%
\int_{\left\vert x\right\vert >\varepsilon }K\left( x\right) \varphi \left(
x\right)
\end{equation*}

o\`{u} $\left\langle .,.\right\rangle $\ d\'{e}signe la forme bilin\'{e}aire
entre $D^{\prime }$\ et $D$\ .

on consid\`{e}re l'int\'{e}grale "singuli\`{e}re"

\begin{equation*}
T_{\varepsilon }\left( f\right) \left( x\right) =\int_{\left\vert
y\right\vert \geq \varepsilon ^{\text{ }}}K\left( x-y\right) f\left(
y\right) dy\ \ \ ,\varepsilon \succ 0\ ,f\in D\left( 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n\text{ }}\right) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left( 1\right)
\end{equation*}

on suppose que $K$ satifait les conditions de Calder\`{o}n $\colon $

\begin{equation*}
K\left( x\right) \leq A\left\vert x\right\vert ^{-n},x\in 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n\text{ }}\diagdown \left\{ 0\right\} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \left( 2\right)
\end{equation*}

\begin{equation*}
\int_{\left\vert x\right\vert \succeq 2h^{\text{ }}}\left\vert K\left(
x-h\right) -K\left( x\right) \right\vert dx\leq A,h\in 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n\text{ }}\diagdown \left\{ 0\right\} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left( 3\right)
\end{equation*}

on d\'{e}signe ,enfin, $Tf=\left( vpK\right) \ast f$ \ \ $\forall f\in
D\left( 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n\text{ }}\right) $

Le but est de demontrer le th\'{e}or\'{e}me suivant{\large 
%TCIMACRO{\TeXButton{vs0.5}{\vspace{0.5cm}}}%
%BeginExpansion
\vspace{0.5cm}%
%EndExpansion
}

\textbf{Th\'{e}or\`{e}me 2-2-3( E.M .Stein )}

soit $T$ un op\'{e}rateur de type $\left( 1\right) $ borne sur $L^{2}\left( 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n}\right) $,de noyau $K$ v\'{e}rifiant $\left( 2\right) $et\ \ $\left(
3\right) $,alors pour tout $p\in \left] 1,\infty \right[ $, on a:

$\iota )T_{\varepsilon }$ est born\'{e} sur $L^{p}\left( 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n\text{ }}\right) $ uniform\'{e}ment par rapport \`{a} $\varepsilon ,$

i.e\ $\exists C_{0}\succ 0$ \ (ne d\'{e}pend pas de $\varepsilon $), tel que 
$\forall f\in L^{p}\left( 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n\text{ }}\right) $ on ait

\begin{equation*}
\left\Vert T_{\varepsilon }f\ \ \ \ \right\Vert _{p}\leq \ C_{0}\left\Vert
f\right\Vert _{p}
\end{equation*}%
\ \ 

$\iota \iota )$De plus ,\ $\forall f\in L^{p}\left( 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n\text{ }}\right) ,\underset{r\rightarrow 0}{\lim }$\ $T_{\varepsilon }f\
=Tf$ \'{e}xiste en norme $L^{p}\cdot $

Nous avous la possibilit\'{e} de remplacer l'hypoth\`{e}se "$T$ est born\'{e}
sur $L^{2}\left( 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n\text{ }}\right) "$ par une condition ,d\^{u}e \`{a} E.Stien, sur $K$ $%
\colon $

\begin{equation*}
\int_{R_{1}<\left\vert x\right\vert <R_{2}}K\left( x\right) dx=0,\ \ \
0<R_{1}<R_{2}<\infty \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left( 4\right)
\end{equation*}%
{\large 
%TCIMACRO{\TeXButton{vs0.5}{\vspace{0.5cm}}}%
%BeginExpansion
\vspace{0.5cm}%
%EndExpansion
}\newpage

\textbf{2-3 Quelques propri\'{e}t\'{e}s sur l'operateur \`{a} noyau}

\textbf{L\`{e}mme de majoration 2-3-1}

Soit $k\in L_{loc}^{1}(%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n\text{ }}\diagdown \left\{ 0\right\} )$ v\'{e}rifiant \ $\left( 2\right) $
,\ $\left( 3\right) $ et\ \ $\left( 4\right) $,alors la fonction

\begin{equation*}
K_{\varepsilon }\left( x\right) =\QATOPD\{ . {K\left( x\right) ,\text{ \ \ \
\ }\left\vert x\right\vert \geq \varepsilon }{0,\text{ \ \ \ \ \ \ \ \ }%
\left\vert x\right\vert <\varepsilon \text{\ \ \ }}
\end{equation*}%
\ 

est:

$\iota )K_{\varepsilon }\in L^{p}(%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n})$, pour $\ 1<p\leq \infty $

$\iota \iota )\underset{\varepsilon \in 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n}}{\sup }\left\vert \widehat{K}_{\varepsilon }\left( \xi \right)
\right\vert \leq C$ $A$ , $C=C\left( n\right) >0.${\large 
%TCIMACRO{\TeXButton{vs0.5}{\vspace{0.5cm}}}%
%BeginExpansion
\vspace{0.5cm}%
%EndExpansion
}

\textbf{Preuve}

$\iota )$ \'{e}vident , gr\`{a}ce \`{a} $\left( 2\right) .${\large 
%TCIMACRO{\TeXButton{vs0.5}{\vspace{0.5cm}}}%
%BeginExpansion
\vspace{0.5cm}%
%EndExpansion
}

$\iota \iota )$ \textbf{premi\`{e}re \'{e}tape}.$\varepsilon =1,$portons de
l'\'{e}criture

\begin{equation*}
\widehat{K}_{1}\left( \xi \right) =\left( \int_{\left\vert x\right\vert \leq 
\frac{2\pi }{\left\vert \xi \right\vert }}+\int_{\left\vert x\right\vert
\succ \frac{2\pi }{\left\vert \xi \right\vert }}\right) e^{-ix\zeta
}K_{1}\left( x\right) dx
\end{equation*}

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $=$\ $g_{1}\left( \zeta \right) +$%
\ $g_{2}\left( \zeta \right) $

l'hypoth\`{e}se $\left( 4\right) $ entra\^{\i}ne $\int_{\left\vert
x\right\vert \leq \frac{2\pi }{\left\vert \xi \right\vert }}K_{1}\left(
x\right) dx=0,$ce qui donne

\begin{eqnarray*}
\left\vert g_{_{1}}(\xi )\right\vert &=&\left\vert \int_{\left\vert
x\right\vert \leq \frac{2\pi }{\left\vert \xi \right\vert }}\left( e^{-ix\xi
}-1\right) K_{1}\left( x\right) dx\right\vert \\
&\leq &\left\vert \xi \right\vert \int_{\left\vert x\right\vert \leq \frac{%
2\pi }{\left\vert \xi \right\vert }}\left\vert x\right\vert \left\vert
K_{1}\left( x\right) \right\vert dx\text{ } \\
&\leq &A\left\vert \xi \right\vert \int_{\left\vert x\right\vert \leq \frac{%
2\pi }{\left\vert \xi \right\vert }}\left\vert x\right\vert ^{1-n}dx\text{ }
\\
&=&\acute{C}_{n}A
\end{eqnarray*}

Choisissons $y\in 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n\text{ }}$,tel que $e^{-iy\xi }=-1$\ $\left( y=\frac{\pi \xi }{\left\vert
\xi \right\vert ^{2}}=\frac{\pi }{\left\vert \xi \right\vert }=\left\vert
y\right\vert \right) ,$on a

\begin{eqnarray*}
\int_{%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n\text{ }}}e^{-ix\xi }K_{1}\left( x\right) dx &=&\frac{1}{2}\ \int_{%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n\text{ }}}e^{-ix\xi }\left( 1-e^{-iy\xi }\right) K_{1}\left( x\right) dx\
\ \ \ \left( 5\right) \\
&=&\frac{1}{2}\int_{%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n\text{ }}}e^{-ix\xi }K_{1}\left( x\right) dx-\frac{1}{2}\ \int_{%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n\text{ }}}e^{-iz\xi }K_{1}\left( z-y\right) dz\text{ } \\
\text{\ tel que}(\ x+y &=&z) \\
&=&\frac{1}{2}\ \int_{%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n\text{ }}}e^{-ix\xi }\left( K_{1}\left( x\right) -K_{1}\left( x-y\right)
\right) dx\ \ \ \ \ \ \left( z=x\right) \\
&=&\frac{1}{2}(\int_{\shortmid x\shortmid \geq 2\left\vert y\right\vert }\
+\int_{\shortmid x\shortmid <2\left\vert y\right\vert })e^{-ix\xi }\left(
K_{1}\left( x\right) -K_{1}\left( x-y\right) \right) dx
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
&=&\frac{1}{2}(\int_{\shortmid x\shortmid \geq 2\left\vert y\right\vert
}e^{-ix\xi }\left( K_{1}\left( x\right) -K_{1}\left( x-y\right) \right) dx \\
&&+\frac{1}{2}\int_{\left\vert x\right\vert <2\left\vert y\right\vert
}e^{-ix\xi }K_{1}\left( x\right) dx+\frac{1}{2}\int_{\left\vert
x+y\right\vert \prec 2\left\vert y\right\vert }e^{-ix\xi }K_{1}\left(
x\right) dx
\end{eqnarray*}

car

\begin{equation*}
\int_{\left\vert x\right\vert <2\left\vert y\right\vert }e^{-ix\xi
}K_{1}\left( x-y\right) dy=\int_{\left\vert z+y\right\vert <2\left\vert
y\right\vert }e^{-iz\xi }\left( -1\right) K_{1}\left( z\right) dz\ \ \ \ \ \
\ \ \left( z=x\right)
\end{equation*}

or, n'oublions pas que

\begin{equation*}
g_{2}\left( \xi \right) =\int_{%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n\text{ }}}K_{1}\left( x\right) e^{-ix\xi }dx-\int_{\left\vert
x\right\vert \leq 2\left\vert y\right\vert }e^{-ix\xi }K_{1}\left( x\right)
dx\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left( 6\right)
\end{equation*}%
$\ \ $

en combinant \ $\left( 5\right) $et$\ \left( 6\right) ,$on obtient

\begin{eqnarray*}
g_{2}\left( \xi \right) &=&\frac{1}{2}(\int_{\left\vert x\right\vert \geq
2\left\vert y\right\vert }e^{-ix\xi }\left( K_{1}\left( x\right)
-K_{1}\left( x-y\right) \right) dy \\
&&+\frac{1}{2}\int_{\left\vert x+y\right\vert <2\left\vert y\right\vert
}e^{-ix\xi }K_{1}\left( x\right) dx-\frac{1}{2}\int_{\shortmid x\shortmid
<2\left\vert y\right\vert }e^{-ix\xi }K_{1}\left( x\right) dx\ \  \\
&=&g_{3}\left( \xi \right) +g_{4}\left( \xi \right) -\frac{1}{2}g_{1}\left(
\xi \right) ,
\end{eqnarray*}%
$\ $

l'estimation de $g_{4}$ est dir\`{e}cte ,en effet,

\begin{equation*}
-\left\vert y\right\vert +\left\vert x\right\vert \leq \left\vert
x+y\right\vert <2\left\vert y\right\vert \ \text{i.e}.\left\vert
x\right\vert \leq 3\left\vert y\right\vert
\end{equation*}

comme dans $g_{1}\left( \xi \right) ,$nous avons

\begin{equation*}
\left\vert g_{4}\left( \xi \right) \right\vert \leq \left\vert \xi
\right\vert \int_{\left\vert x\right\vert \leq 3\left\vert y\right\vert
}\left\vert x\right\vert \left\vert K_{1}\left( x\right) \right\vert
dx=C_{n}^{"}A,
\end{equation*}

quant \`{a} l'estimation de $g_{3}$,est imm\'{e}diate ,gr\`{a}ce \`{a}
l'hypoth\'{e}se $\left( 3\right) $.{\large 
%TCIMACRO{\TeXButton{vs0.5}{\vspace{0.5cm}}}%
%BeginExpansion
\vspace{0.5cm}%
%EndExpansion
}

\textbf{deuxi\`{e}me \'{e}tape }$\xi >\mathbf{0}$,

Soient $\tilde{K}\left( x\right) =\varepsilon ^{n}K\left( \varepsilon
x\right) $ et $\tilde{K}_{1}\left( x\right) =\QATOPD\{ . {\tilde{K}\left(
x\right) \text{, \ \ \ \ }\left\vert x\right\vert \geq 1}{0\text{, \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ }\left\vert x\right\vert <1}$

$\tilde{K}$ satisfait les conditions $\left( 2\right) $, $\left( 3\right) $
et\ $\left( 4\right) $,donc d'apr\`{e}s la premi\`{e}re \'{e}tape,

\begin{equation*}
\left\vert F(\tilde{K}_{1})\left( \xi \right) \right\vert \leq CA\ \
,\forall \xi \in 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n\text{ }}
\end{equation*}

en particulier pour $\xi \rightarrow \varepsilon \xi $, i.e

\begin{equation*}
\left\vert F(\tilde{K}_{1})\left( \xi \right) \right\vert \leq C.A;
\end{equation*}%
\ \ 

or $\tilde{K}_{\varepsilon }\left( \xi \right) =F(\tilde{K}_{1})\left(
\varepsilon \xi \right) ,$ d'o\`{u} le r\'{e}sultat .{\large 
%TCIMACRO{\TeXButton{vs0.5}{\vspace{0.5cm}}}%
%BeginExpansion
\vspace{0.5cm}%
%EndExpansion
}

\textbf{corollaire 2-3-2}

Sous les hypot\`{e}ses du l\`{e}mme de majoration (2.6 ): l'op\'{e}rateur $T$
du type

$\left( 1\right) $ est born\'{e} sur $\mathbf{L}^{2}\left( 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n\text{ }}\right) \cdot $En effet , d'apr\`{e}s la formule de plancherel,

on a

\begin{eqnarray*}
\left\Vert T_{\varepsilon }f\right\Vert _{2} &=&(2\pi )^{\frac{-n}{2}%
}\left\Vert \widehat{T_{\varepsilon }}f\right\Vert _{2} \\
&=&(2\pi )^{\frac{-n}{2}}\left\Vert \widehat{K}_{\varepsilon }f\right\Vert
_{2} \\
&\leq &C.A\left\Vert f\right\Vert _{2}.
\end{eqnarray*}

et comme $\int f_{j}\left( y\right) dy=0$ alors \ 

\begin{equation*}
Tf_{j}\left( x\right) =\int_{A}\left( K\left( x-y\right) -K\left(
x-y_{j}\right) \right) f_{j}\left( y\right) dy
\end{equation*}

avec $\ A=\left\{ y\diagup \left\vert x-y_{j}\right\vert \geq 2\left\vert
y-y_{j}\right\vert \right\} $

donc,on obtient (grace \`{a} $\left( 3\right) $)

\begin{eqnarray*}
\int_{%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n\text{ }}\diagdown \tilde{\Omega}}\left\vert Th\left( x\right)
\right\vert dx &\leq &\sum \int \left\vert f_{j}\left( y\right) \right\vert
\left\{ \int_{A}\left\vert K\left( x-y\right) -K\left( x-y_{j}\right)
\right\vert dx\right\} dy \\
&\leq &\sum \int \left\vert f_{j}\left( y\right) \right\vert dy \\
&\leq &2A^{\backprime }\sum \int_{Q_{j}}\left\vert f_{j}\left( y\right)
\right\vert dy \\
&\leq &2A^{\backprime }\left\Vert f\right\Vert _{1}
\end{eqnarray*}

de l'in\'{e}galit\'{e} $\left( 14\right) $ on lire alors $mes$ $E_{2}\leq 
\frac{C\text{ }\left\Vert f\right\Vert _{1}}{\alpha }.${\large 
%TCIMACRO{\TeXButton{vs0.5}{\vspace{0.5cm}}}%
%BeginExpansion
\vspace{0.5cm}%
%EndExpansion
}

\newpage

{\LARGE Chapitre 3}%
%TCIMACRO{\TeXButton{vs0.5}{\vspace{0.5cm}}}%
%BeginExpansion
\vspace{0.5cm}%
%EndExpansion
%TCIMACRO{\TeXButton{vs0.5}{\vspace{0.5cm}}}%
%BeginExpansion
\vspace{0.5cm}%
%EndExpansion

{\LARGE D\'{e}composition d'une fonction int\'{e}grable }%
%TCIMACRO{\TeXButton{vs0.5}{\vspace{0.5cm}}}%
%BeginExpansion
\vspace{0.5cm}%
%EndExpansion
%TCIMACRO{\TeXButton{vs0.5}{\vspace{0.5cm}}}%
%BeginExpansion
\vspace{0.5cm}%
%EndExpansion

{\Large 3--1 R\'{e}sultats de convergence:}

Le th\'{e}or\`{e}me de la convergence domin\'{e}e de Lebesgue est un des th%
\'{e}or\`{e}mes

les plus inportants de la th\'{e}orie de l'int\'{e}gration .il permet de r%
\'{e}souder

dans des conditions tr\'{e}s g\'{e}n\'{e}rales, le propl\`{e}me du passage 
\`{a} la limite

sous le signe $\int .$et d'\'{e}tudier, tr\'{e}s simplement, les fonctions d%
\'{e}finies par

une int\'{e}grale pour d\'{e}montrer le th\'{e}or\`{e}me de Lebesgue,

nous commencerons par \'{e}tablir le l\`{e}mme suivant{\large 
%TCIMACRO{\TeXButton{vs0.5}{\vspace{0.5cm}}}%
%BeginExpansion
\vspace{0.5cm}%
%EndExpansion
}

\textbf{L\`{e}mme de Fatou 3-1-1}

Soient $\left( X,A,U\right) $ un espace mesur\'{e} et $\left( f_{n}\right) $
une suite quel conque d'applications

mesurables $X$ dans $%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
_{+}^{\ast }$; on a

$\int \underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }f_{_{n}}d\mu $ $\leq \underset{%
n\rightarrow +\infty }{\lim }\int f_{n}d\mu $ .{\large 
%TCIMACRO{\TeXButton{vs0.5}{\vspace{0.5cm}}}%
%BeginExpansion
\vspace{0.5cm}%
%EndExpansion
}

\textbf{Th\'{e}or\'{e}me de la convergence domin\'{e}e de lebesgue 3-1-2}

soient $\left( X,A,\mu \right) $ un espace mesur\'{e} et $\left(
f_{n}\right) $une suite de fonctions de $X$

dans $%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
\left( \text{ou }%
%TCIMACRO{\U{2102} }%
%BeginExpansion
\mathbb{C}
%EndExpansion
\right) $qui converge presque partout vers une fonctions $f$ ,s'il \'{e}xiste

une fonction int\'{e}grable $g$ telle que , pour tout $n$, $\left\vert
f_{n}\right\vert \leq g$,

les fonctions $f_{n}$ et $f$ sont int\'{e}grables et on a

\begin{equation*}
\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}\int f_{n}d\mu =\int fd\mu .
\end{equation*}

\textbf{Preuve:}

l'in\'{e}galit\'{e} $\left\vert f_{n}\right\vert \leq g$ \'{e}tant vraie
quel que soit $n,$ on d\'{e}duit que,

presque partout , $\left\vert f\right\vert \leq g\cdot $

En vertu du crit\`{e}re d'int\'{e}grabilite $f_{n}$ et $f$ \ sont donc int%
\'{e}grable.

par ailleurs l'in\'{e}galit\'{e} $\left\vert f_{n}-f\right\vert \leq 2g.$
montre que la suite $\left( 2g-\left\vert f_{n}-f\right\vert \right) $

est croissante et on peut lui appliquer le lemme de Fatou ,il vient

\begin{equation*}
\int \underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\left( 2g-\left\vert
f_{n}-f\right\vert \right) d\mu \leq \underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }%
\int \left( 2g-\left\vert f_{n}-f\right\vert \right) d\mu
\end{equation*}

d'ou

\begin{equation*}
2\int gd\mu \leq 2\int gd\mu +\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\int
\left( -\left\vert f_{n}-f\right\vert \right) d\mu
\end{equation*}

$g$ \'{e}tant int\'{e}grable ,en d\'{e}duit

\begin{equation*}
\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\int \left\vert f_{n}-f\right\vert
d\mu =\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\int \left\vert
f_{n}-f\right\vert d\mu \leq 0
\end{equation*}

ce qui ,comptenu du fait que $\left\vert f_{n}-f\right\vert \geq 0$ implique

\begin{equation*}
\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\int \left\vert f_{n}-f\right\vert
d\mu =0
\end{equation*}

l'in\'{e}galit\'{e}s $\int \left\vert f_{n}\right\vert d\mu -\int \left\vert
f\right\vert d\mu \leq \int \left\vert f_{n}-f\right\vert d\mu ,$ entra\^{\i}%
ne alors le r\'{e}sultat{\large 
%TCIMACRO{\TeXButton{vs0.5}{\vspace{0.5cm}}}%
%BeginExpansion
\vspace{0.5cm}%
%EndExpansion
%TCIMACRO{\TeXButton{vs0.5}{\vspace{0.5cm}}}%
%BeginExpansion
\vspace{0.5cm}%
%EndExpansion
}

{\Large 3--2 R\'{e}sultats de densit\'{e}}{\large 
%TCIMACRO{\TeXButton{vs0.5}{\vspace{0.5cm}}}%
%BeginExpansion
\vspace{0.5cm}%
%EndExpansion
%TCIMACRO{\TeXButton{vs0.5}{\vspace{0.5cm}}}%
%BeginExpansion
\vspace{0.5cm}%
%EndExpansion
}

\textbf{Th\'{e}or\'{e}me3-2-1}

soit $1$ $<p<\infty $ et $\varphi \in (L^{p}\left( \Omega \right) )^{\prime
} $ alors il existe un unique $u\in L^{p^{\prime }}$tel que

\begin{equation*}
\left\langle \varphi ,f\right\rangle =\int_{\Omega }uf\ \ \ \ \ \ \ \
\forall f\in L^{p}
\end{equation*}

\textbf{Th\'{e}or\`{e}me 3-2-2}

soit $\varphi \in (L^{1}\left( \Omega \right) )^{\prime }$alors il existe un
unique $u\in L^{\infty }$ tel que

\begin{equation*}
\left\langle \varphi ,f\right\rangle =\int_{\Omega }uf\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \forall f\in L^{1}
\end{equation*}

de plus on a 
\begin{equation*}
\left\Vert \varphi \right\Vert _{(L^{1})^{\prime }}=\left\Vert u\right\Vert
_{L^{\infty }}
\end{equation*}

\textbf{L\`{e}mme3-2-3}

soit $f\in L_{loc}^{1}\left( \Omega \right) $ alors $\left\{ f\right\} =0$
dans $D^{\prime }\left( \Omega \right) $ si et seulement si $f\equiv 0$ $p.p$

\textbf{Corollaires 3-2-4}

soit $E$ un evtlc et $F$ un sev de $E$ si $\bar{F}\neq E$ il existe $f\in
E^{^{\prime }}\backslash \left\{ 0\right\} $

tellque \ \ $f=0$ sur F.

\textbf{Th\'{e}or\`{e}me 3-2-5}

soit $p\in \left[ 1;\infty \right[ $, $D\left( \Omega \right) $ est dense
dans $L^{p}\left( \Omega \right) $\newpage

\textbf{preuve}

soit $T\in (L^{p})^{\prime }$tellque $T\left( \varphi \right) $, pour tout $%
\varphi \in D$, il r\'{e}sulte des th\'{e}or\`{e}mes $\left( 3.3\right) $

et $\left( 3.4\right) $ qu'il existe $u\in L^{p^{\prime }}$(en particulier $%
u\in L_{loc}^{1}$) repr\'{e}sentant $T$,

on a alors $\left\{ u\right\} =0$ dans $D^{^{\prime }}$et donc\ $u=0$ \ p.p
en vertu du l\`{e}mme $3.5$,

on a danc $T=0$, on en conclut que $D\left( \Omega \right) $

est dense dans $L^{p}\left( \Omega \right) $ gr\^{a}ce au corollaire $%
3.6\cdot ${\large 
%TCIMACRO{\TeXButton{vs0.5}{\vspace{0.5cm}}}%
%BeginExpansion
\vspace{0.5cm}%
%EndExpansion
}

{\Large 3-3 D\'{e}composition d'une Calder\`{o}n Zygmund }{\large 
%TCIMACRO{\TeXButton{vs0.5}{\vspace{0.5cm}}}%
%BeginExpansion
\vspace{0.5cm}%
%EndExpansion
%TCIMACRO{\TeXButton{vs0.5}{\vspace{0.5cm}}}%
%BeginExpansion
\vspace{0.5cm}%
%EndExpansion
}

\textbf{S}oit $F$ un ensemble non vide , ferm\'{e}, dans $%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n}$ son compl\'{e}mentaire $\Omega $

peut s'ecrire sous la forme d'une r\'{e}union de cubes $Q_{j},$ ayant des cot%
\'{e}s

paralleles aux axes, et deux \`{a} deux disjoints .Cela nous conduit a

la d\'{e}composition"fondamentale" suivante

{\large 
%TCIMACRO{\TeXButton{vs0.5}{\vspace{0.5cm}}}%
%BeginExpansion
\vspace{0.5cm}%
%EndExpansion
}

\textbf{Th\'{e}or\`{e}me: 3-3-1(Calder\'{o}n-Zygmund)}

Soit $f\in L^{1}(%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n})$ et soit $\alpha >0\cdot $ Alors , il existe une famille de cubes

$\left\{ Q_{j}\right\} _{j\in I}$deux \`{a} deux disjoints , tels que

$(1)$ $\left\vert f(x)\right\vert \leq \alpha ,$ \ p.p. $x\notin \Omega
=\cup Q_{j}$

$(2)$ $mes\Omega \leq \frac{1}{\alpha }\left\Vert f\right\Vert _{1}$

$(3)$ $\alpha <\frac{1}{mes\Omega }\int_{Q_{j}}\left\vert f(x)\right\vert
dx<2^{n}\alpha ,$ \ $\forall j\in I$

preuve de (3). Fixons $\delta _{0}>0$ assez grand , telle que

$\left\Vert f\right\Vert _{1}\leq 2^{n}\alpha \delta _{0}^{n}$

d\'{e}signons par , $Q_{j,0}=\left\{ x\in 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n},\text{ }\nu _{j,k}.\delta _{0}\leq \chi _{k}\leq \left( \nu
_{j,k}+1\right) .\delta _{0},\text{ }k=1,2,3.....\right\} ,$

$\nu _{j,k}\in 
%TCIMACRO{\U{2124} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Z}
%EndExpansion
,j\in I\subset 
%TCIMACRO{\U{2124} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Z}
%EndExpansion
^{n},$ le cube d'ordre $j$ , on a

\begin{equation*}
\frac{1}{mesQ_{j,0}}\int_{Q_{j,0}}\left\vert f(x)\right\vert dx\leq \frac{1}{%
\delta _{0}^{n}}\left\Vert f\right\Vert _{1}<2^{n}\alpha
\end{equation*}

D\'{e}composons $I=I_{1}\cup I_{2},o\grave{u}$

(si $j\in I_{1}$) $\frac{1}{mesQ_{j,0}}\int_{Q_{j,0}}\left\vert
f(x)\right\vert dx>\alpha ,$ (on note $\tilde{Q}_{j,O}$ pour $j\in I_{1}$)

(si $j\in I_{2}$) $\frac{1}{mesQ_{j,0}}\int_{Q_{j,0}}\left\vert
f(x)\right\vert dx\leq \alpha $ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4)

$\cdot $pour $j\in I_{2},$ on consid\`{e}re les cubes $Q_{j,1}$ de cot\'{e} $%
\delta _{1}=\frac{1}{2}\delta _{0},$ i.e

$Q_{j,1}=\left\{ x\in 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n},\text{ }\nu _{j,k}.\delta _{1}\leq \chi _{k}\leq \left( \nu
_{j,k}+1\right) .\delta _{1},\text{ }k=1,2,3....n.\right\} \subset Q_{j,0}$

nous avons alors

\begin{equation*}
\frac{1}{mesQ_{j,1}}\int_{Q_{j,1}}\left\vert f(x)\right\vert dx=\frac{2^{n}}{%
mesQ_{j,0}}\int_{Q_{j,1}}\left\vert f(x)\right\vert dx\leq 2^{n}\frac{1}{%
mesQ_{j,0}}\int_{Q_{j,0}}\left\vert f(x)\right\vert dx\leq 2^{n}\alpha
\end{equation*}

(gr\^{a}ce a (4))$\cdot $

De mani\`{e}re analogue , d\'{e}composons :$I_{2}=I_{3}\cup I_{4},$ tels que

(si $j\in I_{3}$) $\frac{1}{mesQ_{j,1}}\int_{Q_{j,1}}\left\vert
f(x)\right\vert dx>\alpha ,$ (on note $\tilde{Q}_{j,1}$ pour $j\in I_{3}$)

(si $j\in I_{4}$) $\frac{1}{mesQ_{j,1}}\int_{Q_{j,1}}\left\vert
f(x)\right\vert dx\leq \alpha ,$

$\cdot $plus g\'{e}n\'{e}ralement , on arrive a construire une famille de
cubes deux

a deux disjoints, \`{a} savoir $\left\{ \tilde{Q}_{j,l}\right\} _{l\in 
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
,j\in I_{1}\cup I_{2}\cup I_{3}\cup ....},$tels que, pour tout $l\in 
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
$

et tout $j\in I_{1}\cup I_{2}\cup I_{3}\cup ...,$on ait

\begin{equation*}
\alpha <\frac{1}{mesQ_{j,l}}\int_{Q_{j,l}}\left\vert f(x)\right\vert dx\leq
2^{n}\alpha
\end{equation*}

\textbf{preuve de (1).}

Soit $x\notin \underset{j,l}{\cup }\tilde{Q}_{j,l},$ donc , pour tout cube $%
Q $ contenant $x$ , dont

\begin{equation*}
\frac{1}{mesQ}\int_{Q}\left\vert f(y)\right\vert dy\leq \alpha
\end{equation*}

or

\begin{equation*}
\left\vert f(x)\right\vert \leq \frac{1}{mesB(x,r)}\int_{B(x,r)}\left\vert
f(y)\right\vert dy+\frac{1}{mesB(x,r)}\int_{B(x,r)}\left\vert
f(y)-f(x)\right\vert dy
\end{equation*}

pour tout $r>0$ ( $B(x,r)$ est la boule de centre $x$ de de rayon $r$) ,
alors

$\left\vert f(x)\right\vert \leq \alpha +\frac{1}{mesB(x,r)}%
\int_{B(x,r)}\left\vert f(y)-f(x)\right\vert dy$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (5)

comme $f\in L^{1}(%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n}),$ alors le second terme , dans la partie droite de (5),

tend vers $0$ quand $r\rightarrow 0$ (th\'{e}or\`{e}me de diff\'{e}%
rentiation de Lebesgue),

preuve de (2). cons\'{e}quence imm\'{e}diate de (3){\large 
%TCIMACRO{\TeXButton{vs0.5}{\vspace{0.5cm}}}%
%BeginExpansion
\vspace{0.5cm}%
%EndExpansion
%TCIMACRO{\TeXButton{vs0.5}{\vspace{0.5cm}}}%
%BeginExpansion
\vspace{0.5cm}%
%EndExpansion
}\bigskip

\newpage

{\Large 3-4 Op\'{e}rateurs continus de }${\LARGE L}^{1}${\Large dans }$%
{\LARGE L}^{1}-${\Large faible}{\large 
%TCIMACRO{\TeXButton{vs0.5}{\vspace{0.5cm}}}%
%BeginExpansion
\vspace{0.5cm}%
%EndExpansion
%TCIMACRO{\TeXButton{vs0.5}{\vspace{0.5cm}}}%
%BeginExpansion
\vspace{0.5cm}%
%EndExpansion
}

Soit $T$ un op\'{e}rateur lin\'{e}aire continu de $D$ dans $D^{\prime }$, un
c\'{e}l\`{e}bre th\'{e}or\`{e}me

de L. Schwartz affirme qu'il admet un noyau $K$, et il est d\'{e}fini par
l'identit\'{e}

\begin{equation*}
\left\langle T\varphi ,\psi \right\rangle =\left\langle K,\varphi \otimes
\psi \right\rangle \ (\forall \varphi ,\psi \in D)
\end{equation*}

\textbf{Th\'{e}or\`{e}me 3-4-1(Caldron -Zygmand-Cotlar)}

soit $T$ un op\'{e}rateur d'int\'{e}grale singuli\`{e}re de type (1), " $T$
un op\'{e}rateur

lin\'{e}aire continu de $D$ dans $D^{\prime }$\ ",de noyau $K$ v\'{e}rifiant
(2), (3) et (4), alors :

il existe une constante $c=c(n,T)>0$, telle que pour toute fonction

$f\in L^{1}\cap L^{2}$ et tout $\alpha >0$, on ait:

\begin{equation*}
mes\left\{ x\in 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n}\text{ }/\text{ }\left\vert Tf(x)\right\vert >\alpha \right\} \leq c%
\frac{\left\Vert f\right\Vert _{1}}{\alpha }\ \ \ \ \ \ \ \ \ (6)
\end{equation*}

\textbf{Remarque 3-4-2}

On peut remplacer , dans le th\'{e}or\`{e}me $3.9$,{\Large \ }l'hypoth\`{e}%
se $(4)$ par :

$T$ est born\'{e} sur $L^{2}.$

{\large 
%TCIMACRO{\TeXButton{vs0.5}{\vspace{0.5cm}}}%
%BeginExpansion
\vspace{0.5cm}%
%EndExpansion
}

\textbf{Remarque 3-4-3}

L'in\'{e}galit\'{e} $(6)$ entra\^{\i}ne $T$ envoie $L^{1}$ dans $L^{1}$-
faible{\large 
%TCIMACRO{\TeXButton{vs0.5}{\vspace{0.5cm}}}%
%BeginExpansion
\vspace{0.5cm}%
%EndExpansion
}

\textbf{preuve du th\'{e}or\`{e}me 3-4-4}

En utilisant les r\'{e}sultats du th\'{e}or\`{e}me $3.8,$ il existe alors
une famille de

cubes $\left\{ Q_{j}\right\} $ deux \`{a} deux disjoints ...etc (voir le th $%
3.8$).

D\'{e}signon par $\tilde{Q}_{j}$ le cube de m\^{e}me centre que $Q_{j}$ et
de cot\'{e} double

et par $\tilde{\Omega}=\cup \tilde{Q}_{j}$ ; on remarque que

\begin{equation*}
mes\tilde{\Omega}=\underset{j}{\sum }\tilde{Q}_{j}=2^{n}\underset{j}{\sum }%
mesQ_{j}=2^{n}mes\Omega
\end{equation*}

de $(2)$ et $(3)$, il vient donc

\begin{equation*}
mes\tilde{\Omega}\leq 2^{n}.\frac{1}{\alpha }\underset{j}{\sum }%
\int_{Q_{j}}\left\vert f(x)\right\vert dx\leq 4^{n}\frac{\left\Vert
f\right\Vert _{1}}{\alpha }
\end{equation*}

comme $%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n}=\tilde{\Omega}\cup C_{\tilde{\Omega}}$ , alors pour d\'{e}montrer (6) ,
il nous reste de majorer

la mesure de l'ensemble $E=\left\{ x\notin \tilde{\Omega}\text{ }/\text{ }%
\left\vert Tf(x)\right\vert >\alpha \right\} \cdot $

posons $f_{j}=(f-m_{j}(f))\chi _{Q_{j}}$ o\`{u} $m_{j}(f)=\frac{1}{mesQ_{j}}%
\int_{Q_{j}}f(y)dy,$ et notons

par $h=\underset{j}{\sum }f_{j}$ , et par $g=f-h$ , il est clair que $g=%
\underset{j}{\sum }m_{j}(f)\chi _{Q_{j}}$ sur $\Omega $

et $g=f$ sur $%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n}\backslash \Omega .$

On peut observer que $E\subset E_{1}\cup E_{2}$ o\`{u}

\begin{eqnarray*}
E_{1} &=&\left\{ x\notin \tilde{\Omega}\text{ }/\text{ }\left\vert
Tg(x)\right\vert >\frac{\alpha }{2}\right\} \\
E_{2} &=&\left\{ x\notin \tilde{\Omega}\text{ }/\text{ }\left\vert
Th(x)\right\vert >\frac{\alpha }{2}\right\}
\end{eqnarray*}

(pour justifier $E\subset E_{1}\cup E_{2}$ , onpeut raisonner par l'absurde
, on posant

$x_{0}\in E$ et $x_{0}\notin E_{1}\cup E_{2},$ donc $\left\vert
Tf(x_{0})\right\vert >\alpha ,$ et $\left\vert Tg(x_{0})\right\vert \leq 
\frac{\alpha }{2},\left\vert Th(x_{0})\right\vert \leq \frac{\alpha }{2}$

mais

\begin{equation*}
\left\vert Tf(x_{0})\right\vert \leq \left\vert Tg(x_{0})\right\vert
+\left\vert Th(x_{0})\right\vert ,
\end{equation*}

d'o\`{u} une contradication .....)

- \textbf{E}stimation de $mes$ $E_{1}\colon $nons allons utiliser l'hypot%
\`{e}se $\colon T$ \'{e}tans born\'{e}

sur $L^{2}\left( 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n}\right) .$

\begin{eqnarray*}
mesE_{1} &=&\frac{4}{\alpha ^{2}}\int_{E_{1}}\frac{\alpha ^{2}}{4}dx\leq 
\frac{4}{\alpha ^{2}}\int_{E_{1}}\left\vert Tg(x)\right\vert ^{2}dx\ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left( 7\right) \\
&\leq &\frac{4}{\alpha ^{2}}\left\Vert T\right\Vert _{l\left(
L^{2},L^{2}\right) }\left\Vert g\right\Vert _{2}^{2}=\frac{C_{0}}{\alpha ^{2}%
}\left\{ \int_{\Omega }\left\vert g\right\vert ^{2}+\int_{%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n}\diagdown \Omega }\left\vert g\right\vert ^{2}\right\}
\end{eqnarray*}

on a d'une part

$\int_{\Omega }\left\vert g\right\vert ^{2}=\sum mesQ_{j}\left\vert
m_{j}\left( f\right) \right\vert ^{2}$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 
\text{car }Q_{j}\cap Q_{k}=\varnothing \text{ \ }j\neq k\right) $

$\leq 4^{n}\alpha ^{2}\sum mesQ_{j}=4^{n}\alpha ^{2}mes\left( \Omega \right) 
$ \ \ \ \ \ \ $\left( \text{en vertu du }\left( 3\right) \right) $

$\leq 4^{n}\alpha ^{2}\left\Vert f\right\Vert _{1}$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( \text{gr\`{a}ce \`{a}
}\left( 2\right) \right) $

d'autre part , gr\`{a}ce \`{a} $\left( 1\right) ,$on a

$\int_{%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n}\diagdown \Omega }\left\vert g\right\vert ^{2}=\int_{%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n}\diagdown \Omega }\left\vert f(x)\right\vert \left\vert f(x)\right\vert
dx\leq \alpha \int_{%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n}\diagdown \Omega }\left\vert f(x)\right\vert dx$

$\leq \alpha \left\Vert f\right\Vert _{1}$

d'o\`{u} le dernier t\'{e}rme dans $\left( 7\right) $est major\'{e} par $%
C^{^{\prime }}\frac{\left\Vert f\right\Vert _{1}}{\alpha }$, avec

$C^{^{\prime }}=C_{0}\left( 4^{n}+1\right) $

$\cdot $Estimation de $mes$ $E_{2}\colon $pour $E_{2}$nons utiliserons
l'hypot\'{e}se$\left( 3\right) \colon $

$mes$ $E_{2}=\frac{2}{\alpha }\int_{E_{2}}\frac{\alpha }{2}dx\leq \frac{2}{%
\alpha }\int_{%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n}\diagdown \tilde{\Omega}}\left\vert Th(x)\right\vert dx$ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 8\right) $

Nons remarquons que pour $x\in 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n}\diagdown \tilde{\Omega},Tf_{j}\left( x\right) $est l'int\'{e}grale de
lebesgue

$\int K\left( x-y\right) f_{j}\left( y\right) dy$ ;soit $y_{j}$ le centre de 
$Q_{j}$, alors pour $y\in Q_{j}$ on a 
\begin{equation*}
\left\vert x-y_{j}\right\vert \geq 2\left\vert y-y_{j}\right\vert
\end{equation*}%
\ \ \ (voir, figure...)

\bigskip

\bigskip

\bigskip

\bigskip

\bigskip

\bigskip

\bigskip

\bigskip

\bigskip

et comme 
\begin{equation*}
\int f_{j}\left( y\right) dy=0
\end{equation*}

alors \ 

\begin{equation*}
Tf_{j}\left( x\right) =\int_{A}\left( K\left( x-y\right) -K\left(
x-y_{j}\right) \right) f_{j}\left( y\right) dy
\end{equation*}

avec $A=\left\{ y\diagup \left\vert x-y_{j}\right\vert \geq 2\left\vert
y-y_{j}\right\vert \right\} $ donc,on obtient (gr\^{a}ce \`{a} la troisi\`{e}%
me

condition de Calder\'{o}n)

\begin{eqnarray*}
\int_{%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n\text{ }}\diagdown \tilde{\Omega}}\left\vert Th\left( x\right)
\right\vert dx &\leq &\underset{j}{\sum }\int_{Q_{j}}\left\vert f_{j}\left(
y\right) \right\vert \left\{ \int_{A}\left\vert K\left( x-y\right) -K\left(
x-y_{j}\right) \right\vert dx\right\} dy \\
&\leq &A^{\prime }\underset{j}{\sum }\int_{Q_{j}}\left\vert f_{j}\left(
y\right) \right\vert dy\text{ } \\
&\leq &2A^{\prime }\underset{j}{\sum }\int_{Q_{j}}\left\vert f_{j}\left(
y\right) \right\vert dy\text{ } \\
&\leq &2A^{\prime }\left\Vert f\right\Vert _{1}
\end{eqnarray*}

de l'in\'{e}galit\'{e} $\left( 8\right) $ on lire alors $mes$ $E_{2}\leq 
\frac{C\left\Vert f\right\Vert _{1}}{\alpha }.${\large 
%TCIMACRO{\TeXButton{vs0.5}{\vspace{0.5cm}}}%
%BeginExpansion
\vspace{0.5cm}%
%EndExpansion
}\newpage

\textbf{Corollaire 3-4-5}

Soit $T$ un op\'{e}rateur de type $\left( 1\right) $ born\'{e} sur $%
L^{2}\left( 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n\text{ }}\right) $,de noyau $K\left( x\right) $ satisfait

$\left( 2\right) $ et $\left( 3\right) ,$ alors $T$ est born\'{e} sur $%
L^{P}\left( 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n\text{ }}\right) $ pour $1<p\leq 2.$

En effet , le th\'{e}or\`{e}me $\left( 3.9\right) $ implique que $T\colon
L^{1}\rightarrow L_{faible}^{1}$ ,il r\'{e}sult\'{e} par

interpolation $\left( \text{voir ,ch }1\text{,th }\left( 1.11\right) \right) 
$ que $T$ envoie $L^{P}$dans l\`{u}i m\^{e}me pour

$1<p\leq 2.${\large 
%TCIMACRO{\TeXButton{vs0.5}{\vspace{0.5cm}}}%
%BeginExpansion
\vspace{0.5cm}%
%EndExpansion
}

\textbf{Corollaire 3-4-6}

Sous les hypoth\`{e}ses du corollaire pr\'{e}c\'{e}dent ,$T$ est born\'{e}
sur $L^{P}\left( 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n\text{ }}\right) $

$2\leq p\leq \infty $ \ .

En effet , introduisons l'op\'{e}rat\'{e}ur $T^{t}$ transpos\'{e} de $T$

$\forall \varphi ,\psi \in D\left( 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n\text{ }}\right) $, on a $<T\varphi ,\psi >=$ $<\varphi ,T^{t}\psi >$,o%
\`{u} $T^{t}$ est d\'{e}fini par $\colon $

Si $K\left( x\right) $est un noyau de $T^{t}$ avec $K\left( -x\right) $%
satisfait $\left( 2\right) $et$\left( 3\right) $et $\left( 4\right) $, donc

on peut appliquer le corollaire $\left( 3.12\right) $ \`{a} $T^{t}$ i.e 
\begin{equation*}
\left\Vert T^{t}\psi \right\Vert _{p\prime }\leq C_{p}\left\Vert \psi
\right\Vert _{p\prime }\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left( 1<p^{\prime }\leq 2\right)
.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left( 9\right)
\end{equation*}

reverons \`{a} $T$ :

\begin{eqnarray*}
\left\Vert T\varphi \right\Vert _{p} &=&\underset{\left\Vert \psi
\right\Vert _{p\prime }\leq 1}{\sup }\left\vert <T\varphi ,\psi >\right\vert
=\underset{\left\Vert \psi \right\Vert _{p\prime }\leq 1}{\sup }\left\vert
<\varphi ,T^{t}\psi >\right\vert \\
&\leq &\left\Vert \varphi \right\Vert _{p}\underset{\left\Vert \psi
\right\Vert _{p\prime }\leq 1}{\sup }\left\Vert T^{t}\psi \right\Vert
_{_{p\prime }},\left( \text{H\"{o}lder}\right) \\
&\leq &C_{p}\left\Vert \psi \right\Vert _{P\backprime }\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \left( \text{gr\^{a}ce \`{a}}\left( 15\right) \right)
\end{eqnarray*}%
{\large 
%TCIMACRO{\TeXButton{vs0.5}{\vspace{0.5cm}}}%
%BeginExpansion
\vspace{0.5cm}%
%EndExpansion
}

\textbf{La preuve du th\'{e}or\`{e}me (}E.M.Stein)

$\iota )$il suffit d'appliquer les corollaires $\left( 3.12\right) $et $%
\left( 3.13\right) $.

$\iota \iota )$pour montrer les convergence en norme $L^{p}$; nous
suppossons que le

noyau $K$ v\'{e}rifie la condition $\left( 4\right) $; dons le cas contraire
la d\'{e}monstration

fait appele \`{a} l'in\'{e}galit\'{e} de M.Cotlar $\left( \text{voir,plus
loin, la remarque du th\'{e}or\`{e}me }3.14\text{ }\right) \cdot $

De la densit\'{e} de $D\left( 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n\text{ }}\right) $dans $L^{p}\left( 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n\text{ }}\right) $; soit $f_{1}\in $ $D$, on a

\begin{eqnarray*}
T_{\varepsilon }f_{1}\left( x\right) &=&\int_{1\leq \left\vert y\right\vert
}K\left( y\right) f_{1}\left( x-y\right) dy+\int_{\varepsilon \leq
\left\vert y\right\vert <1}\left( -1\right) K\left( y\right) \left(
f_{1}\left( x\right) -f_{1}\left( x-y\right) \right) dy \\
&=&g_{1}\left( x\right) +\ g_{2}\left( x\right)
\end{eqnarray*}

par le l\`{e}mme 2.6, on a

\begin{eqnarray*}
\left\Vert g_{1}\right\Vert _{p} &\leq &\left( \int_{1\leq \left\vert
y\right\vert }\left\vert K\left( y\right) \right\vert ^{p}\right) ^{\frac{1}{%
p}}\left\Vert f_{1}\right\Vert _{1} \\
&\leq &C\left\Vert f_{1}\right\Vert _{1} \\
\ &\leq &C^{\prime }\left\Vert f_{1}\right\Vert _{p}\mathbf{\ \ \ \ \ }(%
\text{car supp }f\text{ est compact)}
\end{eqnarray*}

$\ast $ $f_{1}$ est diff\'{e}rentiable, alors

\begin{equation*}
\left\vert g_{2}\left( x\right) \right\vert \leq C\int_{\varepsilon \leq
\left\vert y\right\vert <1}\left\vert y\right\vert \left\vert K\left(
y\right) \right\vert dy\ \leq C^{\prime }
\end{equation*}

$C^{\prime }$ ne d\'{e}pend pas de $\varepsilon $ , gr\^{a}ce \`{a} la deuxi%
\`{e}me condition de Calder\'{o}n$,g_{2}\in L^{p}$

puisque, elle est \`{a} support compact$\cdot $

Si $f\in L^{p}$,soit $f_{1}\in D$,telle que $\left\Vert f-f_{1}\right\Vert $
est tr\'{e}s petit,$(f_{2}=f-f_{1})$ ,

c -\`{a}-d

$\left\Vert f_{2}\right\Vert _{p}$ est tr\'{e}s petite .En appliquant $\iota
)$ \`{a} la fonction $f_{2}$ , il vient que 
\begin{equation*}
\left\Vert T_{\varepsilon }f_{2}\right\Vert _{p}\leq C_{0}^{\prime
}\left\Vert f_{2}\right\Vert _{p}
\end{equation*}

$(\left\Vert f_{2}\right\Vert _{p}\leq \delta )$ ;$\left( \delta \text{ est
tr\'{e}s petit}\right) \Rightarrow $ $\left\Vert T_{\varepsilon
}f_{2}\right\Vert _{p}\rightarrow 0$ ,$\delta \rightarrow 0$.

Nons avons enfin

\begin{eqnarray*}
\left\Vert Tf\right\Vert _{p} &\leq &\left\Vert Tf-T_{\varepsilon
}f\right\Vert _{p}+\left\Vert T_{\varepsilon }f_{1}\right\Vert
_{p}+\left\Vert T_{\varepsilon }f_{2}\right\Vert _{p} \\
&\leq &C_{0}\left\Vert f_{1}\right\Vert _{p}+C_{0}^{\prime }\delta
+\left\Vert Tf-T_{\varepsilon }f\right\Vert _{p}
\end{eqnarray*}

par le th\'{e}or\'{e}me de convergence domin\'{e}e

\begin{equation*}
\underset{\varepsilon \rightarrow 0}{\lim }\left\Vert Tf-T_{\varepsilon
}f\right\Vert _{p}=0\ \ \ \ \ \ \left( \forall f\in D\right)
\end{equation*}

d'ou le r\'{e}sultat.{\large 
%TCIMACRO{\TeXButton{vs0.5}{\vspace{0.5cm}}}%
%BeginExpansion
\vspace{0.5cm}%
%EndExpansion
}

\textbf{Th\'{e}or\`{e}me\ 3-4-7}

on consid\'{e}re un op\'{e}rateur de convolution de noyau $K\left( x\right) =%
\frac{1}{x}$,$x\in 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
$,

satisfait les hypoth\`{e}ses $\left( 2\right) $ et $\left( 3\right) $ on 
\'{e}crit aussi

\begin{equation*}
H\varphi \left( x\right) =\underset{\varepsilon \rightarrow 0}{\lim }%
\int_{\left\vert y\right\vert \geq \varepsilon }\frac{1}{\left\vert
x-y\right\vert }\varphi \left( y\right) dy\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\forall \varphi \in D\left( 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
\right) \right)
\end{equation*}

alors:

$i)$ $H$ est born\'{e} sur $L^{2}\left( 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
\right) $

$ii)$ $H$ est born\'{e} sur $L^{p}\left( 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
\right) $, \ \ $1<p<\infty $.

$iii)$ $H$ n'pas born\'{e} sur $L^{1}\left( 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
\right) ${\large 
%TCIMACRO{\TeXButton{vs0.5}{\vspace{0.5cm}}}%
%BeginExpansion
\vspace{0.5cm}%
%EndExpansion
}

\textbf{preuve }

$i)$ potons de la fonction

\begin{equation*}
g_{\varepsilon }\left( \xi \right) =\int_{\varepsilon \leq \left\vert
x\right\vert \leq \varepsilon ^{-1}}\frac{e^{-ix\varepsilon }}{x}%
dx=-2i\int_{\varepsilon }^{\varepsilon ^{-1}}\frac{\sin \left( x\xi \right) 
}{x}dx,
\end{equation*}

nons avons $g_{\varepsilon }\left( -\xi \right) =-g_{\varepsilon }\left( \xi
\right) $, et pour $\xi >0$ on a

\begin{equation*}
g_{\varepsilon }\left( \xi \right) =-2i\int_{\varepsilon }^{\varepsilon
^{-1}\xi }\frac{\sin \left( \mu \right) }{\mu }d\mu
\end{equation*}

d'ou

\begin{equation*}
\underset{\varepsilon \rightarrow 0}{\lim }g_{\varepsilon }\left( \xi
\right) =-i\pi sgn\left( x\right) \ \ ,\xi \neq 0\ \text{et}\ g_{\varepsilon
}\left( 0\right) =0
\end{equation*}

ce qui donne ,pour $\varphi \in S\left( 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
\right) \colon $

\begin{equation*}
-i\pi \int_{-\infty }^{\infty }\varphi \left( \xi \right) sgn\left( \xi
\right) d\xi =\underset{\varepsilon \rightarrow 0}{\lim }\int_{-\infty
}^{\infty }g_{\varepsilon }\left( \xi \right) \varphi \left( \xi \right)
d\xi \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left( 1\right)
\end{equation*}

(puisque $\left\vert g_{\varepsilon }\left( \xi \right) \right\vert \leq \pi 
$,ce qui permet d'appliquer le th\'{e}or\`{e}me

de convergence domini\'{e} dans l'\'{e}galit\'{e} $\left( 1\right) $).

Donc

\begin{equation*}
-i\pi \int_{-\infty }^{\infty }\varphi \left( \xi \right) sgn\left( \xi
\right) d\xi =\underset{\varepsilon \rightarrow 0}{\lim }\int_{\varepsilon
\leq \left\vert x\right\vert \leq \varepsilon ^{-1}}\frac{\widehat{\varphi }%
\left( x\right) }{x}dx=<k,\widehat{\varphi }>
\end{equation*}

d'ou $\widehat{K}\left( \xi \right) =-i\pi sgn\left( \xi \right) $ \ \ \
pour $\xi \neq 0$ et $K^{\symbol{94}}\left( 0\right) =0$.

$ii)$ Comme $\widehat{K}\left( \xi \right) =-i\pi sgn\left( \xi \right) $ $%
\left( \text{i.e }\widehat{K}\in L^{\infty }\left( 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
\right) \right) $ $H$ est born\'{e} sur $L^{2}$

cela nons permet d'appliquer le th\'{e}or\`{e}me de Stien 2.5 pour obtenir
que

$H$ est continue sur $L^{p}\left( 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
\right) $.

$iii)$ Soit $f\in L^{1}\left( 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
\right) $telle que $f^{\symbol{94}}\left( 0\right) \neq 0$

si $k\ast f\in L^{1}\left( 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
\right) $, alors $\widehat{K}\cdot \widehat{f}$ est une fonction continue
sur $%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
$, en particulier

en $0$ $\colon $

\begin{eqnarray*}
\underset{\varepsilon \rightarrow 0}{\lim }\widehat{K}\left( \xi \right)
\cdot \widehat{f}\left( \xi \right) &=&i\pi \widehat{f}\left( 0\right) \\
\underset{\varepsilon \rightarrow 0}{\lim }\widehat{K}\left( \xi \right)
\cdot \widehat{f}\left( \xi \right) &=&-i\pi \widehat{f}\left( 0\right)
\end{eqnarray*}

ce qui contreduit la continuit\'{e} en $0,$ d'ou le r\'{e}sultat

\end{document}
