Systèmes de réécriture et le problème du mot dans un monoïde - GHADBANE, Nacer (Université de M'sila, 2017)
Notre recherche dans cette thèse se situe dans le cadre de semi-systèmes de réécriture dit aussi semi-système de Thue et le problème du mot dans un monoïde. Un semi-système de réécriture est un couple ( ;R) où est un alphabet et R est un ensemble ni de couples de mots sur , i.e, R où est le monoïde libre engendré par muni de l opération la concaténation des mots. L étude des propriétés des semi-systèmes de réécriture forme un domaine très important depuis de nombreuses années. Parmi les propriétés les plus étudiées et les plus importantes des semi-systèmes de réécriture se trouvent la terminaison qui assure l existence d un résultat à un calcul et la con uence qui nous permet de garantir l unicité de ce résultat. Dans ce travail on donne des critères pour assurer la propriété de terminaison dans les deux cas suivants: Dans le premier cas, on utilise un morphisme non contractant entre le semi-système ( ;R) en question et un autre semi-système possédant déjà cette propriété. Dans le second cas, on utilise une fonction poids entre le semi-système ( ;R) et un ensemble muni d un ordre bien fondé. Soit ( ;R) un semi-système de réécriture. La congruence ()R engendrée par R est dé nie par: w()R w0, s il existe x; y de et (r; s) 2 (R [ R􀀀1) tels que w = xry et w0 = xsy, w ()R w0 , s il existe une suite nie de mots u0; u1; :::; un de avec, u0 = w; ui()R ui+1; 80 i n 􀀀 1 et un = w0. Une présentation (par générateurs et relations) d un monoïde M est la donnée d un alphabet et d une relation binaire R sur tels que M soit isomorphe au quotient de par la congruence notée ()R engendré par R, i.e, M = = ()R . Etants données deux semi-systèmes de réecriture ( 1;R1) et ( 2;R2). Nous avons déter- miné quelques conditions sur les relations R1 et R2 qui permettent d assurer l existence d un morphisme entre les monoïdes 1 = () R1 et 2 = () R2 pour assurer le passage entre les deux i monoïdes quotients. D autre part, on donne une relation spéci que R sur qui fait du monoïde quotient = ()R un groupe. Le problème du mot dans un monoïde libre qu on peut formuler comme suit : Etant donnés le semi-système de réécriture ( ;R) et les deux mots w;w0 de , déterminer si on peut dériver w0 à partir de w en utilisant la congruence engendré par R, c est-à-dire w ()R w0. Ce problème est connu qu il est en général indécidable. En n, on s intéresse au protocole ATS-monoïde , l idée de ce protocole est de transformer un semi-système de Thue ( ;R) pour lequel le problème du mot est indécidable en un semi- système de Thue ( ;R ) où pour lequel le problème du mot est décidable en temps linéaire. Plus précisément, on donne des attaques contre ATS-monoïde dans des cas spéci ques et quelques exemples sur ces cas.
Keywords: Monoïde libre, semi-systèmes de réécriture de mots (semi-système de Thue), morphisme de monoïdes, la fermeture d une relation binaire, ordre bien fondé, prob- lème du mot dans un monoïde, cryptographie à clé publique, les bases de Grôbner. ii