Extension galoisienne et quelques applications

Abstract

Ce mémoire porte sur l étude des propriétés structurales de l extension galoisienne. Dans le premier chapitre intitulé l extension de corps, on a essayé de dé nir la notion de l extension simple, nie, algébrique, et de présenter quelques propriétés et citer quelques remarques. Ce chapitre rassemble quelques éléments de la théorie des corps commutatifs, cette théorie est étroitement liée à celle des équation. Si un polynome à co¢ cients dans corps F, n admet pas nécessairement de racines dans F, nous montrerons qu il est toujours possible de construire une extension de F dans laquelle le polynôme a toutes ses racines et qui sera appelé le corps de décomposition du polynôme. En n de ce chapitre on a dé ni deux concepts importents pour ce travail : l extension normale et l extention séparable. . Dans le deuxième chapitre on dé nit d abord la notion de l extension galoisienne (par fois nommé extension de Galois ) et présenter quelque exemple. Puis, on traite la theorie de Galois. Cette théorie permet d établir une correspondance entre des sous corps de décomposition d un polynome et les sous groupes normaux d un groupe dit groupe de Galois du polynome et nous examinons cela dans un exemple. Dans le troisième chapitre on aborde l une des applications de la théorie de Galois les équations résolubes par radicaux, Cela signi e que la résolution de l équation en utilisant seulement les quatre opérations et les extaction radicales