Séries et équation différencielle

Abstract

Ce polycopié couvre les outils mathématiques fondamentaux pour la physique en deuxième année de licence. Il débute par un rappel sur l’intégrale de Riemann puis traite des intégrales doubles et triples (théorème de Fubini, changement de variables, jacobien), avant d’étudier les intégrales impropres (première et seconde espèce) et leurs critères de convergence. Le chapitre sur les équations différentielles présente les méthodes de résolution pour le premier ordre (variables séparables, linéaires, Bernoulli, Clairaut, Lagrange), le second ordre linéaire (coefficients constants, variation des constantes) et une introduction aux équations aux dérivées partielles. Ensuite, l’ouvrage aborde les séries numériques (convergence, critères de D’Alembert et Cauchy), les séries de fonctions (convergence simple et uniforme, théorèmes d’intégration/dérivation), les séries entières (rayon de convergence, développements usuels) et les séries de Fourier (conditions de Dirichlet, égalité de Parseval). Enfin, deux chapitres sont consacrés aux transformations intégrales : la transformation de Laplace (définition, propriétés, résolution des équations différentielles avec conditions initiales) et la transformation de Fourier (définition, propriétés de symétrie, translation, modulation, convolution, application aux équations différentielles). Chaque chapitre est accompagné d’exercices et de solutions détaillées, permettant à l’étudiant de s’entraîner et de maîtriser ces outils essentiels pour la physique. Mots clé : intégrales multiples ; équation différentielle ; séries numériques ;suites et séries de fonctions ;séries entiers ; transformée de Laplace ; transformée de Fourier