Opèrateur pseudo-diffèrentiels

Abstract

Nous présentons dans ce trevail, les éléments principaux d une théorie des opérateurs pseudo- di¤érentiels: symboles, calcul symbolique des opérateurs, action dans les espaces de Sobolev, invariance par changements de coordonnées. Pour une fonction ( ) C1; à croissance lente on note a(D) l opérateur dé ni sur s0 (Rn) par: (a(D)u)^( ) = a( )^u( ): La fonction a( ) s appelle le symbole de l opérateur a(D): Pour u 2 s; (a(D)u)(x) = (2 )􀀀n Z expix a( )^u( )d ; par comparaison avec la formule d inversion de Fourier: u(x) = (2 )􀀀n Z expix ^u( )d ; montre que a(D) ne modi e le fragment ^u( ) expix de fréquence de u qu en multipliant son amplitude ^u( ) par a( ): Par ailleurs, on a la formule a(D)b(D) = (ab)(D); qui signi e que le symbole du composé de deux opérateurs n est autre que le produit des symboles: on appellera calcul symbolique ce type de propriété.