Matrices et systèrnes d'équations linéaires

Abstract

Un système d'équations linéaires est un ensemble d'équations linéaires qui portent sur les mêmes inconnues. Le problème est de trouver les valeurs des inconnues qui satisfassent les équations simultanément. La résolution des systèmes d'équations linéaires appartient aux problèmes les plus anciens dans les mathématiques et ceux-ci apparaissent dans beaucoup de domaines, comme en traitement numérique du signal, en optimisation linéaire, ou dans l'approximation de problèmes non-linéaires en analyse numérique. Un moyen efficace de résoudre un système d'équations linéaires est donné par l'élimination de Gauss-Jordan ou par la décomposition do Cholcsky ou oncorc par la décomposition LU. Dans les cas simples, la règle de Cramer peut également être appliquée, mais elle est très lente et n'est pas efficace en pratique. Ce mémoire on s'interesse aux systèmes d'équations linéaires. Il s'articule sur les trois chapitres suivants: Chapitre 1: on fera une apperçu générale sur les espaces vectoriels, puis les applications linéaires. L'écriture matricielles d'un système linéaire nous a conduit de faire une étude sur les matrices et leurs propriétés. On termine ce chapitre en mettant l'accent sur la relation entre les applications linéaires et les matrices. Chapitre 2: On consacre la première partie de ce chapitre à définir un système linéaire, puis une classification des systèmes linéaires. En fin, on donnera des exemples issus de pratique de système linéaire. Chapitre 3: On fera un panorama de certaines méthodes existant pour résoudre les systèmes linéaires. On va présenter les méthodes suivantes: la méthode d'élimination de Gauss, la méthode de la décomposition LU, la méthode de Cholesky, la méthode de la factorisation QR et enfin les méthodes d'optimisation.