Théorie des invariants et la solution de l'équation de Schrödinger pour un oscillateur chargé dans un champ magnétique variable

Abstract

Dans notre travail nous avons utilisé la théorie des invariants de Lewis et Riesenfeld et l’approche algébrique SU(1.1) de Lie pour analyser théoriquement l’évolution quantique d’un oscillateur harmonique chargé (particule chargée) dans un champ magnétique variable B(t). L’objectif était la résolution de l’équation de Schrödinger appropriée à ce système dans le cas où l’Hamiltonien est un opérateur dépendant du temps, c’est –à-dire la fréquence, la masse et le champ extérieur sont variables. La méthode utilisée consiste à construire une algèbre SU(1.1) de Lie de l’opérateur Hamiltonien, en utilisant une base composée par les générateurs de structures Li. A l’aide d’une transformation unitaire appropriée, nous avons transformé l’invariant I(t) à un autre indépendant du temps dont l’équation de ses états propres prend la forme d’une équation différentielle qui admet pour solution le polynôme de Laguerre. Par conséquent, la solution de l’équation de Schrödinger qui décrit l’évolution de la fonction d’onde est obtenue en multipliant les états propres de l’invariant par un facteur de phase : exp iθn(t).. Pour illustrer notre calculs nous avons les appliqué sur un cas particulier.